%
%
\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{09eh031_a.1}
\end{center}
Das ist die Planfigur f"ur den oberen Teil eines Kirchenfensters.\\
Das gleichseitige Hilfsdreieck $PQR$ ber"uhrt die Kreisb"ogen von $B$ nach $S$ und von $S$ nach $A$
in den Punkten $L$ bzw. $F$. Die Punkte $P$ und $Q$ sind die beiden Mittelpunkte dieser Kreisb"ogen.\\
Die Punkte $F$ und $L$ sind gleichzeitig die Ber"uhrpunkte des einbeschriebenen Kreises mit den beiden
Kreisb"ogen.
\begin{enumerate}
\item 
      \begin{itemize}
             \item Zeige: $\overline{PQ}=(a+a\sqrt 3 )\,\mathrm{m}\,$; d.h. $x=\D\frac{a}{2}+
	     \D\frac{a}{2}\sqrt3$.
	     \item \mbox{}
	     	   \begin{center}
                   \includegraphics{09eh031_a1.1}
                   \end{center}
	           Der Mittelpunkt der Strecke $[PQ]$ bzw. der Strecke $[AB]$ ist $H$. Das Dreieck
	           $HUB$ ist gleichseitig.\\
		   Begr"unde: Diese Konstruktion ergibt $\overline{HQ}=\overline{PH}=x\,\mathrm{m}$.
      \end{itemize}
\item Die Breite $\overline{AB}$ des Kirchenfensters soll $2\,\mathrm{m}$ betragen. Konstruiere die
      vollst"andige Figur im Ma"sstab 1:25.
\item Wie viele Quadratdezimeter rotes Glas werden f"ur die Rosette ungef"ahr gebraucht?
\item Wie hoch wird dieser Teil des Kirchenfensters?
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item       
     \begin{itemize}
            \item Die Seitenl"ange des gleichseitigen Dreiecks betr"agt $2x\,\mathrm{m}$. Die Strecke 
	          $[PL]$ stellt eine der H"ohen in diesem Dreieck dar.\\
	    
                  Dann gilt $\overline{PL}= \overline{PB}=\left(\D\frac{2x}{2}\sqrt3\right)\mathrm{m}=
                  (x+a)\mathrm{m}\,\Leftrightarrow\, x\sqrt3\,\mathrm{m}=(x+a)\,\mathrm{m}$\\
		  
                  $\Leftrightarrow\quad x = \D\frac{a}{\sqrt3-1}\cdot\D\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=
                  \D\frac{a}{2}\cdot(\sqrt3+1)=\D\frac{a}{2}+\D\frac{a}{2}\sqrt3$.\\
            \item Der Punkt $T$ ist der Mittelpunkt der Seite $[HB]$, die $a\,\mathrm{m}$ lang ist. Die
	          Strecke $[TU]$ ist eine H"ohe in dem gleichseitgen Dreieck $HUB$ mit der Seitenl"ange 
		  $a\,\mathrm{m}$.\\
		  $\overline{TU}=\frac{a}{2}\sqrt3\,\mathrm{m}=
		  \overline{TQ}\quad\Rightarrow\quad\overline{HQ}=\overline{HT}+\overline{TQ}=
		  (\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\sqrt3)\,\mathrm{m}=x\,\mathrm{m}$.
      \end{itemize}
\item Die Breite des Fensters betr"agt $2\,\mathrm{m}=200\,\mathrm{cm}$. Im Ma"stab 1:25 bedeutet das f"ur
      deine Zeichnung $\overline{AB}=200\,\mathrm{cm}:25=8\,\mathrm{cm}$.
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh031_l1.1}
      \end{center}
      \begin{itemize}
      \item[--] Konstruiere $x$ f"ur $a=4\,\mathrm{cm}$ gem"a"s der Darstellung in der Aufgabe (a)
      \item[--] Konstruiere das Dreieck $PQR$
      \item[--] Der Punkt $M$ ist sowohl der Mittelpunkt des Inkreises dieses Dreiecks als auch der
                Rosettenmittelpunkt
      \item[--] Die Spitzen der Rosette sind die Eckpunkte eines regelm"a"sigen Sechsecks
      \end{itemize}
\item In diesem Ausschnitt erkennst du im Zusammenhang mit der vorangegangenen Konstruktion:\\
      Die Punkte $E$ und $M$ teilen die Dreiecksh"ohe $[RH]$ in drei gleich gro"se Teile. 
      Das Dreieck $MLE$ ist gleichseitig.\\
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh031_l2.1}
      \end{center}
      F"ur den Inkreisradius $\varrho=\overline{ME}$ gilt:\\
      
      $\varrho = \D\frac{1}{3}\cdot\D\frac{2x}{2}\cdot\sqrt3\,\,\mathrm{m}=
      \D\frac{\sqrt3}{3}\cdot\D\frac{a}{2}\cdot\left(\sqrt3+1\right)\,\mathrm{m}
      =\D\frac{a}{2}\cdot\left(1+\D\frac{\sqrt3}{3}\right)\,\mathrm{m}$\\
      
      Die beiden Kreissegmente an der Sehne $[ME]$ sind kongruent. F"ur den Fl"acheninhalt $A_R$
      eines Blattes der Rosette gilt dann:\\
      
      $A_R = 2\cdot\left(\D\frac{1}{6}\varrho^2\pi-\D\frac{\varrho^2}{4}\sqrt3\right)=
      \varrho^2\left(\D\frac{\pi}{3}-\D\frac{\sqrt3}{2}\right)=
      \D\frac{a^2}{4}\left(1+\D\frac{\sqrt3}{3}\right)^2\left(\D\frac{\pi}{3}-\D\frac{\sqrt3}{2}\right)$\\
      
      F"ur $a=1$ ist dann $A_R\approx 0,112\,\mathrm{cm^2}=11,2\,\mathrm{dm^2}$\\
      und $A_{ges}=6\cdot A_R\approx 67,2\,\mathrm{dm^2}$.\\
      Es werden etwa $70\,\mathrm{dm^2}$ rotes Glas f"ur die Rosette ben"otigt.
\item Es gilt: $\overline{PS}=\overline{PL}=x\sqrt3\,\mathrm{m}$.\\
      $\Delta PHS$:
      $\overline{HS}\,^2=\overline{PS}\,^2-x^2\,\mathrm{m^2}=(3x^2-x^2)\,\mathrm{m^2}=2x^2\,\mathrm{m^2}$.\\
      $\Rightarrow\quad\overline{HS}=x\sqrt2\,\mathrm{m}$.\\
      Die Fensterh"ohe $\overline{HS}$ ist genauso lang wie die Seite des Quadrates mit der Seitenl"ange 
      $x\,\mathrm{m}$ (was eine andere Konstruktionsm"oglichkeit der Figur er"offnen w"urde).\\
      Mit $x=\D\frac{a}{2}\left(\sqrt3+1\right)$ ergibt sich:
      $\overline{HS}=x\sqrt2\,\mathrm{m}=\D\frac{a}{2}\left(\sqrt6+\sqrt2\right)\,\mathrm{m}$.\\
      
      F"ur $a=1$ ergibt sich: $\overline{HS}\approx 1,93\,\mathrm{m}$.
            
\end{enumerate}
}

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