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\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{09eh033_a.1}
\end{center}
Die Punkte $A$ und $B$ sind die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen, welche die beiden Halbkreise mit den
Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$ (Radius $r$) sowie den Kreis um $M_3$ mit dem Radius $R$ ber"uhren.\\
Der Kreis um $M_3$ mit dem Radius $R$ ber"uhrt den Kreisbogen von $B$ nach $C$ im Punkt $E$.
\begin{enumerate}
\item Zeige: $R=1,2r$.
\item Um wie viel Prozent ist der Fl"acheninhalt $A_R$ des Kreises um $M_3$ gr"o"ser als der Fl"acheninhalt
$A_r$ der beiden Halbkreise zusammen?
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\overline{AM_3}=\overline{AE}-\overline{M_3E}=4r-R$\\
      Wende in den beiden Dreiecken $AMM_3$ und $M_1MM_3$ den Satz des PYTHAGORAS an:\\
      
      \begin{tabular}{c l c l c}
      $\Delta AMM_3$:   & $x^2$ & = & $(4r-R)^2-(2r)^2    $ & \\
                        & $x^2$ & = & $16r^2-8rR+R^2-4r^2 $ & \\
                        & $x^2$ & = & $12r^2-8rR+R^2      $ & (1)\\
      $\Delta M_1MM_3$: & $x^2$ & = & $(r+R)^2-r^2        $ & \\
                        & $x^2$ & = & $r^2+2rR+R^2-r^2    $ & \\
                        & $x^2$ & = & $R^2+2rR            $ & (2)\\
      (1) = (2):        & $12r^2-8rR+R^2$ & = & $R^2+2rR  $ & \\
      $\Leftrightarrow$ & $12r^2-10Rr$ & = & $0           $ & \\
      $\Leftrightarrow$ & $2r(6r-5R)$ & = & $0            $ & $\Rightarrow R=1,2r$
      \end{tabular}
\item Fl"achenunterschied:\\
      $\Delta A=A_R-A_r=R^2\pi-r^2\pi=(1,2r)^2\pi-r^2\pi=r^2\pi(1,44-1)=0,44r^2\pi$\\
      
      $\D\frac{\Delta A}{A_r}=\D\frac{0,44r^2\pi}{r^2\pi}=0,44=44\%$
\end{enumerate}
}

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