
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh041_a.1}
      \end{center}
Die Eckpunkte $A$ und $C$ des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ sind die Mittelpunkte der Kreisb"ogen von
$E$ nach $D$ bzw. von $A$ nach $D$. Die Radien der Kreisb"ogen sind gleich lang.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AC}=6\,\mathrm{cm}$.
\item Berechne den Inhalt der get"onten Fl"ache.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh041_l1.1}
      \end{center}
      \begin{itemize}
            \item Zeichne die Strecke $\overline{AC}=6\,\mathrm{cm}$. Trage am Punkt $A$ einen rechten
	          Winkel an.
            \item Zeichne um den Punkt $C$ einen Kreisbogen $k_1$ mit Radius $6\,\mathrm{cm}$. 
	          Zeichne um den Punkt $A$ einen Kreisbogen $k_2$ mit Radius $6\,\mathrm{cm}$.
	    \item $k_1\cap k_2=\{D\}$. Das Dreieck $ADC$ ist somit gleichseitig mit der Seitenl"ange
	          $6\,\mathrm{cm}$.\\
	          $k_2\cap \{$freier Schenkel des rechten Winkels mit dem Scheitel $A\}=\{E\}$.
            \item $[CD\cap [AE =\{B\}$.		  
      \end{itemize}
\item Weil das Dreieck $ADC$ gleichseitig ist, folgt $\gamma=60^\circ$. Weil das Dreieck $ABC$
      rechtwinklig ist, folgt $\beta=30^\circ$.\\
      
      Der Fl"acheninhalt $A$ des Dreiecks $ABC$ betr"agt somit\\
      $A=\D\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}=18\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}\quad 
      (\approx 31,18\,\mathrm{cm^2})$.\\
      
      Berechne dann den Fl"acheninhalt des Kreissektors $(1)$ mit dem Mittelpunkt $C$ und dem
      Kreisbogen von $A$ nach $D$:\\
      $A_{(1)}=\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 6^2\pi\,\mathrm{cm^2}=6\pi\,\mathrm{cm^2}\quad
      (\approx 18,85\,\mathrm{cm^2})$\\
      
      Den Inhalt $A_{(2)}$ der Fl"ache $(2)$, die durch die Strecken $[EB]$ und $[BD]$ sowie durch den
      Keisbogen von $E$ nach $D$ begrenzt wird, berechnest du, indem du den Inhalt des Kreissektors
      mit dem Mittelpunkt $A$ und dem Radius $6\,\mathrm{cm}$ vom Fl"acheninhalt des Dreiecks $ABD$
      subtrahierst.\\
      Das Dreieck $ABC$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck. Weil $\overline{CD}=6\,\mathrm{cm}$
      gilt, ist der Punkt $D$ damit der Mittelpunkt der Hypotenuse $[BC]$, die ja $12\,\mathrm{cm}$
      lang sein muss. Deshalb ist der Fl"acheninhalt des Dreiecks $ABD$ halb so gro"s wie der des 
      Dreiecks $ABC$:\\
      $A_{\Delta ABD}=0,5\cdot 18\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}=9\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}\quad
      (\approx 15,59\,\mathrm{cm^2})$.\\
      
      $\Rightarrow\quad A_{(2)}=\left(9\sqrt 3-\D\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 6^2\pi\right)
      \,\mathrm{cm^2}=(9\sqrt 3-3\pi)\,\mathrm{cm^2}\quad(\approx 6,16\,\mathrm{cm^2})$.\\
      
      Den Inhalt $A$ der get"onten Fl"ache erh"altst du, indem du die beiden Fl"acheninhalte
      $A_{(1)}$ und $A_{(2)}$  vom Fl"acheninhalt des Dreiecks $ABC$ subtrahierst:\\
      $A=18\sqrt 3-[6\pi+(9\sqrt 3-3\pi)]\,\mathrm{cm^2}=(9\sqrt 3-3\pi)\,\mathrm{cm^2}=A_{(2)}$
      {\bf !}\\
      Das bedeutet z.B. auch, dass der Kreisbogen von $E$ nach $D$ die Fl"ache halbiert, die von den
      Strecken $[AB]$ und$[BD]$ sowie vom Kreisbogen von $A$ nach $D$ begrenzt wird.
      
      
\end{enumerate}
}

