%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh061_a1.1}
      \end{center}
Die Punkte $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ und $F$ sind die Eckpunkte eines regelm"a"sigen Sechsecks mit der Seitenl"ange
$a\,\mathrm{cm}$. Diese Punkte sind auch die Mittelpunkte der Kreisb"ogen im Inneren.
Die Strecken $[AB]$, $[CD]$ und $[EF]$ sind jeweils
die Durchmesser der drei Halbkreise im Inneren.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=6$.
\item Berechne den Fl"acheninhalt der get"onten Figur in deiner Zeichnung.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Zeichne zun"achst den Umkreis der Figur mit dem Radiua $a=6\,\mathrm{cm}$. Trage dann den 
      Radius 6-mal auf der Kreislinie ab. Beginne dabei mit einem der \GF{waagrechten} Punkte 
      $C$ oder $F$. Zeichne dann die 6 Kreisb"ogen und die 3 Halbkreise ein.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh061_l1.1}
      \end{center}
      \vspace{0.3cm}
      Die Figur stellt eines der drei kongruenten Elemente der Ausgangsfigur ($AF$) dar: An den Schenkeln
      $[MA]$ und $[MB]$ des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ liegen zwei kongruente Segmente ($Seg$), die zum
      Fl"acheninhalt des gleichseitigen Dreiecks addiert werden. Davon wird dann der Fl"acheninhalt des
      Halbkreises ($Hk$) subtrahiert. Das Ergebnis wird schlie"slich noch mit 3 multipliziert.
      
      $A_{AF}=3\cdot(A_{ABC}+2\cdot A_{Seg}-A_{Hk})=3\cdot[A_{ABC}+2\cdot(A_{Sektor}-A_{ABC})-A_{Hk}]$\\
      $A_{AF}=6\cdot A_{Sektor}-3\cdot A_{ABC}-3\cdot A_{Hk})$\\

      $A_{AF}=\left[6\cdot\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot a^2\pi
      -3\cdot\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3
      -3\cdot\D\frac{1}{2}\cdot\left(\D\frac{a}{2}\right)^2\pi\right]\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      $A_{AF}=\left[a^2\pi-\D\frac{3}{4}a^2\sqrt 3-\D\frac{3}{8}\,a^2\pi\right]\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      $A_{AF}=\left[\,\D\frac{5}{8}\,a^2\pi-\D\frac{3}{4}a^2\sqrt 3\right]\,\mathrm{cm^2}
      =\left[\D\frac{a^2}{8}\cdot\left(5\pi-6\sqrt 3\,\right)\,\right]\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      F"ur $a=6$ ergibt sich: $A_{AF}\approx 23,92 \,\mathrm{cm^2}$\\
      
      {\bf Anmerkung:}\\
      
      Es gilt $A_{AF}=\left[\D\frac{5}{8}\,a^2\pi-\D\frac{3}{4}a^2\sqrt 3\right]\,\mathrm{cm^2}
      =\left[\D\frac{225^\circ}{360^\circ}\cdot a^2\pi-3\cdot\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3\right]\,\mathrm{cm^2}$.\\
      
      Das bedeutet: Die Ausgangsfigur hat den gleichen Fl"acheninhalt wie ein Kreissektor mit dem
      Mittelpunktswinkel $225^\circ$ und dem Radius $a\,\mathrm{cm}$, dem man 3 gleichseitige Dreiecke mit einer
      Seitenl"ange von jeweils $a\,\mathrm{cm}$ entnommen hat.
\end{enumerate}
}

