%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh064_a1.1}
      \end{center}
In den Kreis $k$ mit dem Radius $r$ ist das Quadrat $ABCD$ und in seinen Halbkreis ist das Quadrat $PQRS$
einbeschrieben.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $r=4\,\mathrm{cm}$.
\item Berechne das Verh"altnis der Fl"acheninhalte der beiden Quadrate.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh064_l1.1}
      \end{center}
      Zeichne zun"achst den Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und seinem waagrecht liegenden Durchmesser.
      Zeichne dann zwei Geraden ein, die jeweils einen $45^\circ$-Winkel mit dieser
      Waagrechten bilden und sich im Punkt $M$ schneiden. Die Schnittpunkte dieser beiden Geraden mit der Kreislinie
      $k$ sind die Eckpunkte des Quadrates $ABCD$.\\
      Um das Quadrat $PQRS$ zu erhalten, zeichnest du am besten erst ein (hier gestrichelt eingezeichnetes)
      Probequadrat mit den Eckpunkten $R\,'$ und $S\,'$ ein. Dann folgt:\\
      $[MR\,'\,]\cap k=\{R\}$ und $[MS\,'\,]\cap k=\{S\}$.\\
      Die Lote der Eckpunkte $R$ und $S$ auf die Waagrechte liefern die restlichen Quadrat-Eckpunkte $Q$ und $P$.
\item F"ur die Berechnung kannst du den Radius $r$ verwenden. Es geht jedoch auch, wenn du f"ur
      $r\,\,4\,\mathrm{cm}$ einsetzt.\\
      Es gilt: $\overline{AB}=y$ und $\overline{MP}=x$, dann ist $\overline{PS}=2x$ (siehe Zeichnung).\\
      Das Dreieck $ABM$ ist gleichschenklig-rechtwinklig und damit ein halbes Quadrat mit der Diagonalenl"ange
      $y=r\sqrt2$. $\quad\Rightarrow\quad A_{ABCD}=y^2=2r^2$.\\
      
      PYTHAGORAS im Dreieck $PMS$: $x^2+(2x)^2=r^2$\\
      
      $\Leftrightarrow\quad 5x^2=r^2\quad\Leftrightarrow\quad 2x=\D\frac{2r}{\sqrt 5}
      \quad\Rightarrow\quad A_{PQRS}=(2x)^2=\D\frac{4}{5}\,r^2$\\
      
      $\D\frac{A_{PQRS}}{A_{ABCD}}=\D\frac{\D\frac{4}{5}\,r^2}{2r^2}=2:5=\D\frac{4}{10}=40\%$\\
      
      Das Quadrat $ABCD$ ist um $60\%$ gr"o"ser als das Quadrat $PQRS$.

\end{enumerate}
}

