%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh126_a1.1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $R=\overline{MA}=5,6\,\mathrm{cm}$ und $r=\overline{MB}=4\,\mathrm{cm}$\,.
\item Zeige, dass der untere Kreisring und der obere Halbkreis nicht denselben Fl"acheninhalt besitzen.
\item Jetzt sei $r=\sqrt{18}\,\mathrm{cm}$\,.\\
      Berechne $R$ so, dass der Inhalt der beiden get"onten Fl"achen gleich ist.
\item Welcher Zusammenhang muss zwischen $R$ und $r$ bestehen, damit die get"onten Fl"achen gleichen Inhalt besitzen?
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh126_l1.1}
      \end{center}
\item {\bf Anmerkung: Zu allen Fl"achenma"szahlen geh"ort die Einheit \GF{$\,\mathrm{cm^2}$}.}
      Es gilt: $A_{\,\mathrm{Halbkreis (klein)}}=\D\frac{1}{2}\cdot4^2\pi$ und
      $A _{\,\mathrm{Kreisring}}=\D\frac{1}{2}\cdot5,6^2\pi-A_{\,\mathrm{Halbkreis (klein)}}$\,.\\

      Es muss also gelten: $A_{\,\mathrm{Halbkreis (gro"s)}}=2\cdot A_{\,\mathrm{Halbkreis (klein)}}$\,.\\

      $\Leftrightarrow\quad\D\frac{1}{2}\cdot5,6^2\pi=\left.2\cdot\D\frac{1}{2}\cdot4^2\pi\quad\right|\,:\pi
      \quad\Leftrightarrow\quad15,68\neq16$\,.
\item $\D\frac{1}{2}\cdot R^{\,2}\,\pi=2\cdot\D\frac{1}{2}\sqrt{18}^{\,\,2}\pi\,\mathrm{cm^2}
      \quad\Leftrightarrow\quad R^{\,2}=36\,\mathrm{cm^2}\quad\Rightarrow\quad R=6\,\mathrm{cm}$\,.
\item Es muss gelten: $\D\frac{1}{2}\cdot R^{\,2}\,\pi=2\cdot\D\frac{1}{2}\cdot r^{\,\,2}\pi\quad\Rightarrow\quad 
      R=r\sqrt2$\,.\\

      Du k"onntest das auch mit Hilfe der Eigenschaften der zentrischen Streckung begr"unden:
      \begin{itemize}
      \item Alle Kreise sind zueinander "ahnlich.
      \item Wenn du eine Kreisfl"ache verdoppelst, dann gilt f"ur den Streckungsfaktor $k$: 
      $k^2=2\quad\Rightarrow\quad k=\sqrt2$\,.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
 
}
