%
\ANG
{
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh208_a1.1}
      \end{center}
      Im gleichseitigen Dreieck $ABC$ ist $M$ der Basismittelpunkt.\\
      Diesem gleichseitigen Dreieck sind ein Halbkreis und ein kleinerer Kreis einbeschrieben worden. Die beiden
Kreislinien ber"uhren sich im Punkt $T$\,.
 \begin{enumerate}
 \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$\,.
 \item Berechne das Verh"altnis des Fl"acheninhaltes des kleinen Kreises zu dem des Halbkreises.\\
\end{enumerate}    
}

\LSG{
\begin{enumerate}
 \item 
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh208_l1.1}
      \end{center}
      Wir bezeichenen die Seitenl"ange des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ mit $a$.
 \item Die Dreiecke $AMA_1$ und $MBB_1$ sind halbe gleichseitige Dreiecke mit der Seitenl"ange $\frac{a}{2}$. Aus
Symmetriegr"unden sind diese beiden Dreiecke zudem kongruent.\\
Das Dreieck $MBB_1$ ist (ebenso wie das Dreieck $AMA_1$) ein halbes gleichseitiges Dreieck mit der Dreiecksh"ohe
$\overline{MB_1}(=\overline{MA_1})=\frac{a}{4}\sqrt3$\,.\\
Weil der Punkt $T$ auf der Halbkreislinie liegt, gilt ebenso $\overline{MT}=\frac{a}{4}\sqrt3=
\frac{1}{2}\cdot\overline{MC}$\,.\\
$M_a$ und $M_b$ sind also zwei Seitenmittelpunkte des gleichseitigen Dreiecks $ABC$\,.\\
Dann gilt $[M_aM_b]\,\|\,|[AB]$\,.\\
Demnach betr"agt der Inkreisradius $\rho_i$ des Dreiecks $M_bM_aC$ ein Viertel von dem des Dreiecks ABC.\\
F"ur den Inkreisradius $\rho_g$ des gleichseitigen Dreiecks gilt: $\rho_g=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{2}\sqrt3$\,.\\
$\Rightarrow\quad\rho_i=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{2}\sqrt3=\frac{a}{24}\sqrt3$\,.\\
F"ur den Fl"acheninhalt $A_k$ des kleinen Kreises gilt dann:\\

$A_k=\left(\D\frac{a}{24}\sqrt3\right)^2\cdot\pi=\D\frac{a^2}{96}\cdot\pi$\,.\\


F"ur den Fl"acheninhalt $A_{HK}$ des Halbkreises gilt dann:\\

$A_{HK}=\D\frac{1}{2}\cdot\left(\D\frac{a}{4}\sqrt3\right)^2\cdot\pi=\D\frac{3a^2}{32}\cdot\pi$\,.\\

F"ur das fragliche Fl"achenverh"altnis ergibt sich dann:\\

$\D\frac{A_k}{A_{HK}}=\left[\D\frac{a^2}{96}\cdot\pi\right]:
\left[\D\frac{a^2}{32}\cdot\pi\right]=\D\frac{32}{96}=\D\frac{1}{3}$\,.



\end{enumerate} 
}
