%
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\ANG
{Im Rechteck $ABCD$ gilt: $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und $\overline{BC}=3\,\mathrm{cm}$. Die Punkte $A$ und $B$
sind Kreismittelpunkte.
\begin{center}
\includegraphics{10eh013_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne die skizzierte Figur gem"a"s den obigen Angaben.
\item Berechne den Inhalt der grauen Fl"ache.

\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Zeichne zuerst den Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius 3 cm. Dadurch erh"altst du den Punkt $P$.\\
      Zeichne dann den zweiten Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius $\overline{BP}$. So erh"altst du den Punkt Q. 
\begin{center}
\includegraphics{10eh013_l.1}
\end{center}
\item Neben dem Kreissektor $APD$ mit dem Fl"acheninhalt $A_{1}$ erzeugt die Hilfslinie $[BQ]$  den Kreissektor 
      $BQP$ mit dem Fl"acheninhalt $A_{2}$ und dazu das Dreieck $QBC$ 
      mit dem Fl"acheninhalt $A_{3}$.\\
      Es muss gelten: $\overline{AP}=3\,\mathrm{cm}$ und damit $\overline{BP}=\overline{BQ}=5\,\mathrm{cm}$.\\
      $A_{1}=\D\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot 3^2\cdot\pi\,\mathrm{cm}^2\approx 7,07\,\mathrm{cm}^2$\\
      
      $\Delta BCQ: \cos \varphi = \D\frac{3}{5}\quad \Rightarrow\quad \varphi \approx 53,13^\circ
      \quad \Rightarrow\quad \psi\approx 36,87^\circ$\\
      $A_{2}=\D\frac{36,87^\circ}{360^\circ}\cdot 5^2\cdot\pi\,\mathrm{cm}^2\approx 8,04\,\mathrm{cm}^2$\\
      
      Z.B. PYTHAGORAS im $\Delta QBC$: $\overline{QC}\,^2+3^2\,\mathrm{cm}^2 = 5^2\,\mathrm{cm}^2 
      \quad\Rightarrow\, \overline{QC}=4\,\mathrm{cm}$.\\
      $A_{3}=\D\frac{1}{2}\cdot 4\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm} = 6\,\mathrm{cm}^2 $\\
      Das Rechteck $ABCD$ hat einen Fl"acheninhalt von $24\,\mathrm{cm}^2$.\\
      F"ur den gesuchten Fl"acheninhalt $A$ gilt dann: $A=A_{ABCD}-A_1-A_2-A_3$\\
      $A\approx (24-7,07-8,04-6)\,\mathrm{cm}^2\quad A\approx 2,89\,\mathrm{cm}^2$.
      
      
\end{enumerate}
}

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