\ANG
{
Das regelm"a"sige Sechseck $ABCDEF$ besitzt den Mittelpunkt $M$ und die Symmetrieachse $s$.\\
Der Mittelpunkt des Inkreises dieses regelm"a"sigen Sechsecks ist $M$\,. $D$ und $E$ sind die Mittelpunkte der Kreisb"ogen, die sich in $G$ ber"uhren.\\
\begin{center}
      \includegraphics{10eh019_1.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
      \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=4\,\mathrm{cm}$.
      \item Berechne f"ur $\overline{AB}=4\,\mathrm{cm}$ den Fl"acheninhalt des grau eingef"arbten Ringes.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Am einfachsten erh"altst du ein regelm"a"siges Sechseck mit einer Seitenl"ange von $4\,\mathrm{cm}$, indem du auf einer Kreislinie $k$ 
      den Radius von $4\,\mathrm{cm}$ sechsmal abtr"agst. Damit dieses Sechseck aber mit zwei gegen"uber liegenden Seiten 
      (hier: $[ED]$ und $[AB]$) waagrecht liegt, zeichnest du erst die Symmetrieachse $s$ ein und dann wieder durch den Punkt $M$ eine zweite Symmetrieachse,
      die auf $s$ senkrecht steht. Diese schneidet die Kreislinie $k$ in den Punkten $F$ und $C$.\\
      Zwei weitere Kreise Radius von $4\,\mathrm{cm}$ um $F$ und $C$ schneiden die Kreislinie $k$ in den Punkten $E$ und $A$ bzw. $B$ und $D$.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh019_2.1}
      \end{center}
      Der direkteste Weg der Fl"achenberechnung f"uhrt "uber den Kreisbogen $PQ$, so dass ein geschlossener Kreisring entsteht, 
      dem lediglich noch das (grau eingef"arbte) Kreisbogendreieck $QPG$ entnommen werden muss.\\
      Jedes regelm"a"sige Sechseck l"asst sich in 6 kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegen.\\
      Der gro"se Radius $R$ des Ringes ist so lang wie eine H"ohe $[MG]$ des gleichseitigen Dreiecks $MDE$: $R=\D\frac{4}{2}\sqrt 3\,\mathrm{cm} = 
      2\sqrt 3\,\mathrm{cm}$.\\
      Der kleine Radius $r$ des Ringes ist halb so lang wie die Seitenl"ange  des gleichseitigen Dreiecks $MDE$: $r=2\,\mathrm{cm}$.\\
      Damit ergibt sich f"ur den Fl"acheninhalt $A_{Ring}$ des geschlossenen Kreisrings:\\
      $A_{Ring}=\left[(2\sqrt 3)^2 - 2^2\cdot\pi\right]\,\mathrm{cm}^2$\\
      Der Fl"acheninhalt $A_{Kreisdreieck}$ des Kreisbogendreiecks $QPG$ bleibt "ubrig, wenn man aus dem gleichseitigen Dreieck $MDE$ 
      die drei kongruenten Sektoren $EQG$, $MPQ$ und $DGP$ mit einem Mittelpunktswinkel von jeweils $60^\circ$ entfernt:\\
      $A_{Kreisdreieck}=\left(\D\frac{4^2}{4}\cdot\sqrt 3-3\cdot\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\right)
      \,\mathrm{cm^2}=\left(4\sqrt 3 - \D\frac{1}{2}\pi\right)\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      Damit ergibt sich der gesuchte Fl"acheninhalt:\\
      $A=\left(8\pi - 4\sqrt 3 + \D\frac{1}{2}\pi\right)\,\mathrm{cm^2}=\D\frac{17\pi-8\sqrt 3}{2}\,\mathrm{cm^2}\approx 19,78\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      {\bf Hinweis}:\\
      Eine weitere M"oglichkeit besteht darin, den Fl"acheninhalt des offenen Kreisrings au"serhalb des Dreiecks $MDE$ zu berechnen und dann die beiden
      "`Enden"', die im gleichseitigen Dreieck $MDE$ liegen, anzuf"ugen. Doch dies ist offensichtlich wesentlich m"uhsamer auszurechnen.
      \end{enumerate}

}

