%
%
\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{10eh021_a.1}
\end{center}
Das Viereck $ABCD$ ist aus einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck und einem gleichseitigen Dreieck
zusammengef"ugt. Die Mittelpunkte der Kreisb"ogen sind die Punkte $B$, $D$ und $A$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{BD}=6\,\mathrm {cm}$.
\item Berechne den Inhalt der grauen Fl"ache.

\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
     \begin{itemize}
     \item Zeichne die Dreiecke $DBC$ und $ABD$.
     \item Der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $B$ und dem Radius $\overline{BC}$ schneidet
           die Seite $[BD]$ im Punkt $Q$ und der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius 
	   $\overline{DC}$ schneidet die Seite $[BD]$ im Punkt $P$.
     \item Der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $\overline{DQ}$ schneidet
           die Seite $[AD]$ im Punkt $R$ und der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $B$ und dem Radius 
	   $\overline{BP}$ schneidet die Seite $[AB]$ im Punkt $S$.
     \end{itemize}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh021_l.1}
      \end{center}
       $A_1=A_{\Delta DBC}-A_{Sektor BCQ}=A_2$\\
       $A_I=A_{\Delta DBC}-(A_1+A_2)=
       A_{\Delta DBC}-2\cdot(A_{\Delta DBC}-A_{Sektor BCQ})$\\
       $A_I= 2\cdot A_{Sektor BCQ}-A_{\Delta DBC}$\\
       Wie kannst du dieses Ergebnis geometrisch deuten?\\
       Es wird zun"achst nur mit Ma"szahlen gerechnet:
       $\overline{BC}=3\sqrt 2$\\
       $A_{\Delta DBC}= \D\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9$ ; $\quad A_{Sektor BCQ}=\D\frac{45^\circ}{360^\circ}
       \cdot (3\sqrt 2)^2\pi = 2.25\pi$\\
       
       Also: $A_I=4.5\pi-9\quad\Rightarrow\quad A_I=\left(\D\frac{9\pi}{2}-9\right)
       \,\mathrm{cm}^2\quad(\approx 5,14\,\mathrm{cm}^2$)\\
       Was spielt sich nun unterhalb der Strecke $[DB]$ ab?\\
       $\overline{DQ}=\overline{BP}=6-3\sqrt 2$\\
       $A_3=A_4=\D\frac{60^\circ}{360^\circ}(6-3\sqrt 2)^2\cdot\pi=\D\frac{1}{6}
       (36-36\sqrt 2+18)\cdot\pi\\
       A_3=A_4=(9-6\sqrt2)\cdot\pi\quad (\approx 1,62\,\mathrm{cm}^2$)\\
       $\overline{AR}=\overline{AS}=6-(6-3\sqrt 2)=3\sqrt 2$\\
       $A_5=\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot(3\sqrt2)^2\cdot\pi=\D\frac{18}{6}\cdot\pi=3\pi\quad
       (\approx 9,42\,\mathrm{cm}^2$)\\
       
       $A_{II}=\D\frac{6^2}{4}\sqrt 3 - [2\cdot(9-6\sqrt 2)\pi+3\pi]\\
       A_{II}=9\sqrt 3-(18\pi-12\sqrt 2\pi+3\pi)$\\
       $A_{II}=9\sqrt 3-(21-12\sqrt 2)\pi\quad(\approx 2,93 \,\mathrm{cm}^2$)\\
       
       F"ur die Gesamtfl"ache $A$ des "`Fisches"' ergibt sich:\\
       
       $A=A_I + A_{II}=\left[\left(\D\frac{9\pi}{2}-9\right)+9\sqrt 3-(21-12\sqrt 2)\pi\right]\,\mathrm{cm}^2$\\
       
       $A=\left[9(\sqrt 3-1)-\pi\cdot\left( 21-12\sqrt 2-\D\frac{9}{2}\right)\right]\,\mathrm{cm}^2$\\
       
       $A=\left[9(\sqrt 3-1)+\D\frac{3}{2}\pi(8\sqrt 2-11)\right]\,\mathrm{cm}^2
       \quad(\approx 8,07 \,\mathrm{cm}^2$)
 \end{enumerate}
}

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