%
%
\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{10eh022_a.1}
\end{center}
In das Rechteckeck $ABCD$ ist ein gleichseitiges Dreieck $ABF$ einbeschrieben.\\
Die Mittelpunkte der sieben Kreisb"ogen sind die Punkte $A$, $B$ und $F$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm {cm}$.
\item Berechne den Inhalt der grauen Fl"ache.

\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
     \begin{itemize}
     \item Zeichne das gleichseitige Dreieck $ABF$. Die H"ohe $[FM]$ dieses Dreiecks ist genau
           so lang wie die Rechtecksseiten $[AD]$ und$[BC]$.
     \item Der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $A$ und dem Radius $\overline{AD}$ schneidet
           die Seite $[AF]$ im Punkt $P$ und der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $B$ und dem Radius 
	   $\overline{BC}$ schneidet die Seite $[BF]$ im Punkt $R$.
     \item Der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $F$ und dem Radius $\overline{FP}$ schneidet
           die Seite $[BF]$ im Punkt $R$.
     \item Der Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $F$ und dem Radius $\overline{FD}=3\,\mathrm{cm}$
           schneidet die Seite $[AF]$ im Punkt $S$, wobei ebenfalls 
	   $\overline{FS}=3\,\mathrm{cm}$ gilt.      
     \item Nun musst du noch den Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius $\overline{AS}$ 
           zeichnen. Dieser Kreisbogen trifft auf den Punkt $M$.\\
	   Weil die Mittelpunkte $F$ und $A$ der beiden Kreisb"ogen, die sich im Punkt $S$ treffen,
	   zusammen mit dem Punkt $S$ auf einer Geraden liegen, gehen sie ohne Knick 
	   ineinander "uber.
     \item Die entsprechenden Schritte f"uhren rechts der Symmetrieachse $MF$ vom Punkt $C$ 
           "uber den Punkt $T$ zum Punkt $M$.\\	             
     \end{itemize}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh022_l.1}
      \end{center}
       Wir rechnen meist nur mit Ma"szahlen:\\
      
       $A_{ABCD}=6\cdot 3\sqrt 3=18\sqrt 3\quad(\approx 31,18\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_{\Delta AFD}=\D\frac{1}{4}\cdot A_{ABCD}=\D\frac{9}{2}\cdot \sqrt 3
       \quad(\approx 7,79\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_{Sektor APD}=A_{Sektor BCR}=\D\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot (3\sqrt 3)^2\pi=
       \D\frac{9}{4}\,\pi\quad(\approx 7,07\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_1=A_2=A_{\Delta AFD}-A_{Sektor APD}=
       \D\frac{9}{2}\sqrt 3-\D\frac{9}{4}\pi\quad(\approx 0,73\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       Weiter gilt: $\overline{FP}=6-3\sqrt 3\,$.\\
       
       $A_3=\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot (6-3\sqrt 3)^2\cdot\pi
        =\D\frac{36-36\sqrt 3+27}{6}\pi=\D\frac{21-12\sqrt 3}{2}\pi$\\
       
       $A_3=\D\frac{21}{2}\,\pi-6\sqrt 3\pi\quad(\approx 0,34\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_4=A_5=\D\frac{9}{2}\sqrt 3-\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 3^2\cdot\pi=\D\frac{9}{2}\sqrt 3
       -\D\frac{3}{2}\,\pi\quad(\approx 3,08\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_6=A_7=\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 3^2\cdot\pi=\D\frac{3}{2}\pi
       \quad(\approx 4,71\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_I=A_{II}=A_{\Delta AFD}-A_1-A_4$\\
       
       $A_I=\D\frac{9}{2}\,\sqrt 3-\left(\D\frac{9}{2}\sqrt 3-\D\frac{9}{4}\pi\right)
       -\left(\D\frac{9}{2}\sqrt 3 -\D\frac{3}{2}\,\pi\right)$\\
       
       $A_I=A_{II}=\D\frac{15}{4}\,\pi-\D\frac{9}{2}\sqrt 3\quad(\approx 3,99\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       $A_{III}=A_{\Delta ABF}- A_3-(A_6+A_7)$, wobei $A_6=A_7$ gilt.\\
       
       $A_{III}= 9\sqrt 3-\left(\D\frac{21}{2}\,\pi-6\sqrt 3\,\pi\right)-2\cdot\D\frac{3}{2}\,\pi
       =9\sqrt 3-\D\frac{27}{2}\,\pi+6\sqrt 3\,\pi\quad(\approx 5,83\,\mathrm{cm}^2)$\\
       
       Damit ergibt sich als Fl"acheninhalt $A$ der grau get"onten Figur:\\
       
       $A=2\cdot A_I+A_{III}=
       2\cdot\left(\D\frac{15}{4}\cdot\pi-\D\frac{9}{2}\sqrt 3\right)
       +\left(9\sqrt 3-\D\frac{27}{2}\,\pi+6\sqrt 3\,\pi\right)$\\
       
       $A=6\pi(\sqrt 3-1)\,\mathrm{cm}^2\,\approx 13,80\,\mathrm{cm}^2$
       
\end{enumerate}
}

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