%
%
\ANG
{In der Abbildung gilt: $\overline{AB}=3\,\mathrm{cm}$.\\
Der Punkt $M$ und die Punkte $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, und $F$ sind Kreismittelpunkte.\\
Die Punkte $P$ und $Q$ sind die Mittelpunkte der Kreisb"ogen $AF$ und $CB$, die sich in das Innere des Kreises mit dem
Mittelpunkt $M$ w"olben.\\
\begin{center}
\includegraphics{10kw001_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Begr"unde: Das Sechseck $ABCDEF$ ist regelm"a"sig.
\item Berechne den Inhalt der grauen Fl"ache.\\
      {\bf Hinweis:} Zeichne ausgehend von Punkt $M$ geeignete Hilfslinien ein. 
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Strecken $[AB]$, $[BC]$, $\ldots$ , $[FA]$ sind jeweils $3\,\mathrm{cm}$ lang. Also sind die Dreiecke $ABM$,
      $BCM$, $\ldots$ , $FAM$ gleichseitig und kongruent. Daher haben die Winkel $BAF$, $CBA$,$\ldots$ , $EFA$ alle das
      Ma"s $120^\circ$. Also ist das Sechseck $ABCDEF$ regelm"a"sig.
\item \mbox{}\\
      \begin{center}
      \includegraphics{10kw001_l.1}
      \end{center}
      Das Viereck $FMDE$ ist aus den beiden kongruenten gleichseitigen
      Dreiecken $FME$ und $MDE$ zusammengef"ugt. Also ist das Viereck $FMDE$
      eine Raute, deren Diagonalen $[FD]$ und $[EM]$ im Punkt $H$ aufeinander senkrecht
      stehen.\\
      Im Dreieck $MDE$ liegt die Strecke $[MG]$ auf einer Winkelhalbierenden. Der
      Punkt $G$ ist gleichzeitig der Schwerpunkt in diesem Dreieck, der alle
      Seitenhalbierenden (hier: $[EC]$ und $[DF]$) und damit alle H"ohen im
      Verh"altnis 2:1 teilt.\\
      
      Also gilt : $\overline{MG}=\D\frac{2}{3}\cdot\D\frac{3}{2}\sqrt 3
      \,\mathrm{cm} =\sqrt 3\,\mathrm{cm}\quad(\approx 1,73\,\mathrm{cm})$.\\
      
      Wegen $\overline{FC}=6\,\mathrm{cm}$ gilt: $A_{\Delta FCG}=\D\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}
       = 3\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}
      (\approx 5,20\,\mathrm{cm^2})$\\
      
      Die Dreiecke $FAM$, $ABM$ und $BCM$ sind gleichseitig und kongruent:\\
       $A_{\Delta ABM}=\D\frac{3^2}{4}\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}
        = \D\frac{9}{4}\sqrt 3 \mathrm{cm^2} (\approx 3,90\,\mathrm{cm^2})$.\\
      
      Von den beiden Dreiecken $FAM$ und $BCM$ musst du jeweils noch das nach innen gew"olbte Kreissegment unter der
      Sehne $[AF]$ bzw. $[BC]$ subtrahieren.\\
      Diese beiden Segmente sind aus Symmetriegr"unden zu ihrem jeweils dar"uber liegenden Kreissegment kongruent.\\
      Somit ergibt sich z.B: $A_{Segment [AF]}= A_{Sektor MFA}-A_{\Delta MFA}$.\\
      
      Alle folgenden Berechnungen erfolgen in der Einheit $\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $A_{Segment (AF)}=\D\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 3^2\pi-\D\frac{3^2}{4}\sqrt 3 =\D\frac{3}{2}\pi
      -\D\frac{9}{4}\sqrt 3 \quad (\approx 0,82\,\mathrm{cm^2})$\\
      
      F"ur das Fl"achenst"uck $A^*$, das durch die Strecken $[MF]$ und $[MA]$ sowie durch den nach innen gew"olbten
      Kreisbogen $AF$ begrenzt wird, ergibt sich:\\
      
      $A^*= \D\frac{3^2}{4}\sqrt 3-\D\frac{3}{2}\pi+\D\frac{9}{4}\sqrt 3 = \D\frac{9}{2}\sqrt 3-\D\frac{3}{2}\pi
      \quad (\approx 3,08\,\mathrm{cm^2})$\\
      
      F"ur den Inhalt $A$ des grauen Fl"achenst"uckes ergibt sich damit:\\
      
      $A = 3\sqrt 3 + \D\frac{9}{4}\sqrt 3 + 2\cdot\left(\D\frac{9}{2}\sqrt 3-\D\frac{3}{2}\pi\right)
      =\left(3+\D\frac{9}{4}+9\right)\sqrt 3 - 3\pi$.\\
      
      $A = \left(\D\frac{57}{4}\sqrt 3-3\pi\right)\,\mathrm{cm^2} \quad (\approx 15,26\,\mathrm{cm^2})$
      
      
      
\end{enumerate}
}

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