
%
\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{10eh031_a.1}
\end{center}
Die Punkte $D$ und $E$ sind zwei Seitenmittelpunkte des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ mit der
Seitenl"ange $a$.\\
Die Punkte $S$, $D$, $C$ und $E$ sind die Mittelpunkte der Kreisb"ogen $k_1$, $k_2$, $k_3$ und
$k_4$, welche die eif"ormige Figur bilden. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt des Umkreises $k_u$
dieser Eilinie.
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
      \item Beschreibe, wie du diese Figur zeichnest.
      \item Zeichne die Figur f"ur $a = 6\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}
\item Begr"unde: Neben der Symmetrieachse $PQ$ besitzt die Eilinie keine weitere.
\item Wie viel Prozent der Fl"aches des Umkreises $k_u$ bedeckt die eif"ormige Fl"ache?\\
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item
      \begin{itemize}
      \item Zeichne das gleichseitige Dreieck $ABC$. Verl"angere dabei die Strecken $[AC]$ und
            $[BC]$ jeweils "uber $C$ hinaus.\\
	    $[AE]\cap[BD]=\{S\}$\\
	    Zeichne den Kreisbogen $k_1(S\,; r_1 = \overline{SA})$.\\
	    $k_2(D\,; r_2 = \overline{DB})\cap [AC = \{F\}$
	    und $k_3(E\,; r_3 = \overline{EA})\cap [BC = \{G\}$.\\
	    Zeichne den Kreisbogen $k_4(C\,; r_4 = \overline{CF})$.\\
            Die Gerade $PQ$ ist die Symmetrieachse der Figur.\\
	    Der Mittelpunkt der Strecke $[PQ]$ ist $M$.\\
      \item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh031_l01.1}
      \end{center}
      \end{itemize}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh031_l02.1}
      \end{center}
      Zwar sind die beiden Kreisb"ogen $k_2$ und $k_4$ kongruent, aber die beiden Kreisb"ogen
      $k_1$ (Radius $\overline{SQ}$) und $k_3$ (Radius $\overline{CP}$) sind es nicht.
      Also ist die Senkrechte zur Geraden $PQ$ durch den Punkt
      $M$ keine Symmetrieachse der Figur. Andere Geraden, die ebenfalls durch $M$ verlaufen,
      kommen aus dem gleichen Grund nicht als Symmetrieachsen in Betracht.
\item Der Schnittpunkt $S$ ist auch der Schwerpunkt des Dreiecks $ABC$, der die Schwerlinien im
      Verh"altnis $2:1$ teilt.\\
      Es seien $r_1 = \overline{SA}$, $r_2 = \overline{DB}$ und $r_3 = \overline{CF}$.\\
      Die drei Kreisb"ogen $k_1$, $k_2$ und $k_3$ schlie"sen die Kreisteile $A_1$, $A_2$, $A_3$
      und $A_4$ au"serhalb des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ ein, dessen Fl"acheninhalt kurz
      $A_{\Delta}$ hei"sen soll.\\
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh031_l03.1}
      \end{center}
      $r_1 = \D\frac{2}{3}\cdot\D\frac{a}{2} = \D\frac{a}{3}\sqrt 3\quad$; $\qquad
      r_2 = \D\frac{a}{2}\sqrt 3 = r_4$\\
      
      $A_1 = \D\frac{1}{3}\cdot\left(\D\frac{a}{3}\sqrt 3\right)^2\cdot\pi-\D\frac{1}{3}
      A_{\Delta} = \D\frac{1}{9}a^2\pi - \D\frac{1}{3}A_{\Delta}$\\
            
      $A_2 = \D\frac{1}{4}\cdot\left(\D\frac{a}{2}\sqrt 3\right)^2\cdot\pi-\D\frac{1}{2}
      A_{\Delta} = \D\frac{3}{16}a^2\pi - \D\frac{1}{2}A_{\Delta} = A_4$\\
      
      $r_3 = \D\frac{a}{2}\sqrt 3 - \D\frac{a}{2} = \D\frac{a}{2}\left(\sqrt 3 - 1\right)$\\
      
      $A_3 = \D\frac{1}{6}\cdot\left[\D\frac{a}{2}\left(\sqrt 3\ -1\right)\right]^2\cdot\pi
       = \ldots = \D\frac{1}{6}a^2\pi -\D\frac{1}{12}a^2\sqrt3 \pi$\\
       
      \begin{tabular}{c c l}
      
        $A_{Ei}$ & = & $\D\frac{1}{9}a^2\pi-\D\frac{1}{3}A_{\Delta}+\D\frac{3}{8}a^2\pi-A_{\Delta}+
               \D\frac{1}{6}a^2\pi-\D\frac{1}{12}a^2\sqrt 3\pi + A_{\Delta}$\\ \\
               
	       
                 & = & $a^2\pi\left(\D\frac{1}{9}+\D\frac{3}{8} + \D\frac{1}{6}\right)
                        -\D\frac{1}{3}\cdot\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3 \pi$\\ \\

                 & = & $a^2\pi\D\frac{8+27+12}{72}-a^2\sqrt 3 \cdot \D\frac{1+\pi}{12}$\\ \\

                 & = & $\D\frac{47}{12}a^2\pi - \D\frac{\sqrt 3}{12}a^2\cdot (1+\pi)$\\ \\

        $A_{Ei}$ & = & $\D\frac{a^2}{72}\cdot (47\pi - 6\sqrt 3 - 6\pi\sqrt 3)\quad\approx
                        52,31\,\mathrm{cm^2}\qquad$ f"ur $a=6\,\mathrm{cm}$
\end{tabular}\\

  F"ur den Durchmesser $d_u$ des Umkreises $k_u$ gilt: $d_u = 2\cdot r_1 + r_3$.\\

  $\Rightarrow\quad r_u = \D\frac{1}{2}\cdot (2r_1+r_3) = \D\frac{1}{2}(\D\frac{2}{3}
  a\sqrt 3 + \D\frac{1}{2}a\sqrt 3 - \D\frac{1}{2}a)$\\

  \begin{tabular}{c c l}
   $r_u$ & = & $\D\frac{1}{3}a\sqrt 3 + \D\frac{1}{4}a\sqrt 3 - \D\frac{1}{4}a$\\ \\
         
         & = & $a\left(\D\frac{7}{12}\sqrt 3 - \D\frac{1}{4}\right)$\\ \\

   $r_u$ & = & $\D\frac{1}{12}a(7\sqrt 3 - 3)\quad\approx 4,56\,\mathrm{cm}\qquad$ f"ur
               $a=6\,\mathrm{cm}$\\\\
   
   $r_u^2$ & = & $\D\frac{a^2}{144}(156 - 42\sqrt 3)$

\end{tabular}\\

F"ur den Fl"acheninhalt $A_u$ des Unkreises ergibt sich dann:

$A_u = \D\frac{a^2}{144}(156 - 42\sqrt 3)
\cdot\pi$\\


 $\D\frac{A_{Ei}}{A_u} = \D\frac{\D\frac{a^2}{72}\cdot (47\pi - 6\sqrt 3 - 6\pi\sqrt 3)}
 {\D\frac{a^2}{144}(156 - 42\sqrt 3)\cdot\pi} = 0,7999561666\ldots \approx 0,8 = 80\%$\\
 
 Der Verdacht liegt nahe, dass es genau $80\%$ sind. Aber Z"ahler und Nenner stehen leider im
 irrationalen Verh"altnis (man sagt, \GF{Z"ahler und Nenner sind inkommensurabel.}). 
 Das liegt z.B. daran, dass sich die Zahl $\pi$ nicht herausk"urzt.
\end{enumerate}
}              

