
%
\ANG
{
Die Mantelfl"ache einer geraden quadratischen Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S$ besteht aus
vier gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenl"ange $a\,\mathrm{cm}$. Der Mittelpunkt der
Grundfl"ache ist $M$.
\begin{enumerate}
\item Skizziere eine solche Pyramide.\\
      Zeige: F"ur die Pyramidenh"ohe $h$ gilt in Abh"angigkeit von $a$: $h=\D\frac{a}{2}\sqrt 2
      \,\mathrm{cm}$.
\item Zeichne f"ur $q=0,5$ und $\omega=30^\circ$ ein Schr"agbild der Pyramide mit $a=6$. Dabei
      soll $[AB]$ auf der Schr"agbildachse liegen.
\item Untersuche das Dreieck $DBS$ auf seine Besonderheiten.
\item 
      \begin{itemize}
      \item Verbinde die Mittelpunkte der vier Seitenkanten sowohl untereinander zu dem 
            Viereck $EFGH$ als auch mit dem Mittelpunkt $M$.
	    Dadurch entsteht eine einbeschriebene Pyramide $EFGHS$.
      \item Berechne das Verh"altnis der Oberfl"achen der beiden Pyramiden $EFGHS$ und $ABCDS$.
      \item Berechne das Verh"altnis der Rauminhalte der beiden Pyramiden $EFGHS$ und $ABCDS$.
      \end{itemize}
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $h=\D\frac{a}{2}\sqrt 2$ wird in (b) gezeigt.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh040_l1.1}
      \end{center}
      Im rechtwinkligen Dreieck $MM^*S$ gilt:\\
      $\overline{MS}\,^2=\overline{M^*S}^2-
      \overline{M^*M}^2$, also $h^2=\left(\D\frac{a}{2}\sqrt 3\right)^2-
      \left(\D\frac{a}{2}\right)^2=\D\frac{3}{4}a^2-\D\frac{1}{4}a^2$\\
      $\Rightarrow\quad h=\D\frac{a}{2}\sqrt 2\,$.
\item Der Mittelpunkt $M$ halbiert die Quadratdiagonale $[BD]$. Also gilt:\\
      $\overline{MD}=\D\frac{a}{2}\sqrt 2 = h$. dann muss das Dreieck $DMS$
      gleichschenklig-rechtwinklig mit $\varphi=\psi=45^\circ$ sein. Weil die beiden Dreiecke
      $DMS$ und $MBS$ kongruent sind, ist auch das Dreieck $DBS$ gleichschenklig-rechtwinklig.
\item \begin{itemize}
            \item
                  \mbox{}
                  \begin{center}
                  \includegraphics{09eh040_l2.1}
                  \end{center}
	    \item Du siehst z.B., dass die Seitenkante $[EH]$ der kleinen Pyramide halb so lang
	          wie die Seitenkante $[BA]$ der gro"sen Pyramide ist. Alle anderen Seitenkanten
		  der kleinen Pyramide und deren H"ohe sind ebenfalls halb so lang wie die
		  entsprechenden Seitenkanten der gro"sen Pyramide bzw. deren H"ohe.\\
                  Wenn aber die entsprechenden Seitenkanten im Verh"altnis $1:2$ stehen, dann
		  m"ussen die Seitenfl"achen der kleinen und der gro"sen Pyramide jeweils im 
		  Verh"altnis $(1:2)^2$ stehen.
                  Damit stehen die Oberfl"achen der beiden Pyramiden im Verh"altnis $1:4$.
            \item Wenn die entsprechenden Seitenkanten im Verh"altnis $1:2$ stehen, dann
		  m"ussen die Rauminhalte der beiden Pyramide im $(1:2)^3$ stehen. Damit
		  stehen die Rauminhalte der beiden Pyramiden im Verh"altnis $1:8$.
      \end{itemize}
 {\bf Hinweis:} Du h"attest auch das Volumen und die Oberfl"ache der beiden Pyramiden in
 Abh"angigkeit von $a$ einzeln berechnen k"onnen. Doch f"ur die kleine Pyramide $EFGHM$  h"attest 
 du mehrfach "Ahlichkeitss"atze anwenden m"ussen, die aber f"ur "ahnliche K"orper, wie es diese 
 beiden Pyramiden nun einmal sind, allgemein gelten: $O'=k^2\cdot O$ und $V'=k^3\cdot V$ (hier mit
 $k=0,5$).\\
 Das jeweilige Ergebnis w"are das gleiche.
\end{enumerate}
}              

