%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh028mn08_a.1}
      \end{center}
	Ein Metallstab mit der L"ange~$l$ soll an den Punkten~$A$ und $B$ so abgeknickt werden, dass ein
	gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck entsteht. Die Stabenden~$P$ und $Q$ sollen sich dabei ber"uhren.
	\begin{enumerate}
    \item	Zeige, dass dann~~$x=\frac{l}{2\;+\sqrt{2}}$~~gilt!
    \item	\begin{itemize}
			\item	Begr"unde:~~$\frac{l}{2\;+\sqrt{2}}=l\;-\frac{l}{2}\sqrt{2}$\,!
            \item	Eine M"oglichkeit, die L"ange~$x=l\;-\tfrac{l}{2}\sqrt{2}$~~aus der vorgegebenen Stab\-l"ange~$l$
					und damit die Knickpunkte~$A$ und $B$ zu konstruieren, ist zusammen mit dem sich ergebenden
					gleich\-schenklig-recht\-winkligen Dreieck~$ABR$ unten dargestellt:\\
					\begin{center}
						\includegraphics{09eh028mn08_a2.1}
					\end{center}
					Begr"unde, dass in dieser Konstruktion~~$x=l\;-\frac{l}{2}\sqrt{2}$~~gilt!
            \item	Konstruiere die Knickpunkte~$A$ und $B$ und das fertige Dreieck~$ABR$ f"ur eine Stab\-l"ange von
					$2{,}40\,m$ im Ma"sstab~$1:20$\,! Beschreibe die Konstruktion!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
    \item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh028mn08_l01.1}
			\end{center}
            Die Hypotenuse~$\overline{AB}$ des Dreiecks~$ABP$ bzw.~$ABQ$ ist so lang wie die Diagonale\\
			eines Quadrates mit der Seitenl"ange~$x$, n"amlich~~$|\overline{AB}|=x\cdot\sqrt{2}$.\\
			Der Umfang dieses Dreiecks muss die Stabl"ange~$l$ ergeben:\\
			$x\;+x\;+x\,\sqrt{2}=l\quad\iff\quad x\,(2\;+\sqrt{2})=l\quad\iff\quad x=\frac{l}{2\;+\sqrt{2}}$.\\
	\item	\begin{itemize}     
			\item	$x=\frac{l}{2\;+\sqrt{2}}=\frac{l}{2\;+\sqrt{2}}\cdot\frac{2\;-\sqrt{2}}{2\;-\sqrt{2}}=\frac{2\,l\;-l\,\sqrt{2}}{2}=l\;-\frac{l}{2}\,\sqrt{2}$,
					was zu zeigen war.
			\item	Der THALES-Halbkreis unter der Strecke~$\overline{PQ}$ schneidet deren Symmetrie\-achse~$s$ im Punkt $S$.
					Folglich sind die beiden Dreiecke~$PSM$ und $SQM$ kongruente gleich\-schenklig-recht\-winklige Dreiecke, die
					du zu einem Quadrat mit der Seiten\-l"ange~$|\overline{MP}|=|\overline{MQ}|=|\overline{MS}|=\frac{l}{2}$
					und der Diagonalen\-l"ange~$|\overline{PS}|=|\overline{QS}|=|\overline{PB}|=|\overline{QA}|=\frac{l}{2}\,\sqrt{2}$~
					zusammen\-f"ugen k"onntest. Dann besitzen die Strecken~$\overline{AP}$ und $\overline{BQ}$ jeweils die L"ange:\\
					$x=l\:-\frac{l}{2}\,\sqrt{2}$~(siehe oben).
			\item	Ein $2{,}40\,m=240\,cm$ langer Metallstab ist im Ma"sstab~$1:20$\\
					in deiner Zeichnung $240\,cm:20=12\,cm$ lang.  
					\begin{itemize}
					\item[--]	Zeichne die Mittelsenkrechte~$s$ der Strecke~$\overline{PQ}$\,!
					\item[--]	Zeichne den THALES-Halbkreis~$k_T$ unter der Strecke~$\overline{PQ}$\,!
					\item[--]	$k_T\cap s=\{S\}$.
					\item[--]	$k_1\,(P,\;r_1=|\overline{PS}|)\cap\overline{PQ}=\{B\}$.
					\item[--]	$k_2\,(Q,\;r_2=|\overline{QS}|)\cap\overline{PQ}=\{A\}$.
					\item[--]	$k_3\,(B,\;r_3=|\overline{BQ}|)\cap s=\{R\}=k_4\,(A,\;r_4=|\overline{AP}|)\cap s=k_3\cap k_4$.
					\item[--]	Das Dreieck~$ABR$ ist das gesuchte.
					\end{itemize}
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}                       
