%
%
\ANG
{
	Die Mantelfl"ache einer geraden quadratischen Pyramide~$ABCDS$ mit der Spitze~$S$ besteht aus
	vier gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenl"ange~$a\,cm$. Der Mittelpunkt der Grundfl"ache ist $M$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Skizziere eine solche Pyramide und zeige, dass in Abh"angigkeit von $a$\\
			f"ur die Pyramiden\-h"ohe ~~$h=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,a\,cm$~~ gilt!
	\item 	Zeichne f"ur ~$a=6$~ mit $q=0{,}5$ und $\omega=30^\circ$ ein Schr"agbild der Pyramide!\\
			Dabei soll die Kante~$\overline{AB}$ auf der Schr"agbildachse liegen.
	\item 	Untersuche das Dreieck~$DBS$ auf seine Besonderheiten!
	\item	\begin{itemize}
			\item 	Verbinde die Mittelpunkte der vier Seitenkanten sowohl untereinander\\
					zum Viereck~$EFGH$ als auch jeweils mit dem Mittelpunkt~$M$\,!\\
					Dadurch entsteht eine einbeschriebene Pyramide~$EFGHS$.
			\item 	Berechne das Verh"altnis der Oberfl"achen\\
					der beiden Pyramiden~$EFGHS$ und $ABCDS$\,!
			\item 	Berechne das Verh"altnis der Rauminhalte\\
					der beiden Pyramiden~$EFGHS$ und $ABCDS$\,!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	$h=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,a\,cm$ wird in (b) gezeigt.
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh040mn_l1.1}
			\end{center}
			Im rechtwinkligen Dreieck $MM^*S$ gilt:\\
			$|\overline{MS}|\,^2=|\overline{M^*S}|^2\;-|\overline{M^*M}|^2$,
			also $h^2=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\;a\,cm\right)^2\;-\left(\tfrac{1}{2}\,a\,cm\right)^2=\tfrac{2}{4}\,a^2\,cm^2$\\
			$\Rightarrow\quad h=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,a\,cm$.
	\item 	Die halbe Quadratdiagonale~$\overline{BD}$ misst $|\overline{MD}|=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,a\,cm$, also genau so viel wie~$h$,
			womit das Dreieck~$DMS$ gleichschenklig-rechtwinklig mit $\varphi=\psi=45^\circ$ ist. Weil die beiden Drei\-ecke~$DMS$
			und $MBS$ kongruent sind, ist auch das Dreieck~$DBS$ gleichschenklig-rechtwinklig.
	\item 	\begin{itemize}
            \item	\mbox{}\begin{center}
						\includegraphics{09eh040mn_l2.1}
					\end{center}
			\item 	Du siehst, dass z.\,B. die Seitenkante~$\overline{EF}$ der kleinen Pyramide halb so lang
					wie die Seitenkante~$\overline{AB}$ der gro"sen Pyramide ist. In der kleinen Pyramide betragen
					alle anderen Strecken\-l"angen ebenso jeweils die H"alfte der entsprechenden Strecke in
					der gro"sen Pyramide. Wenn aber entsprechende Strecken im Verh"altnis~$1:2$ stehen, dann verhalten sich
					die Fl"achen\-inhalte der kleinen und der gro"sen Pyramide jeweils im Verh"altnis ~$(1:2)^2=1:4$.
            \item 	Die Volumen der Pyramiden stehen dann im Verh"altnis ~$(1:2)^3=1:8$.
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}              