%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh084mn_a1.1}
    \end{center}
	Die Darstellung zeigt den Axialschnitt eines Zimmerbrunnens. Dort ist eine Kugel aus Marmor
	mit dem Radius~$r=x\,cm$ in eine unbewegliche Halbkugelschale mit einem "au"seren
	Durchmesser von $30\,cm$ aus dem gleichen Material eingepasst. Ein d"unner Wasserfilm in der
	Ber"uhrfl"ache der beiden K"orper bewirkt, dass die Kugel fast reibungs\-frei rotieren kann.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$x=7{,}5$~ im Ma"sstab~$1:5$\,!
	\item 	Berechne f"ur ~$x=7{,}5$~ die Oberfl"ache der Halbkugelschale in~$dm^2$\,!
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	Zeige, dass f"ur die Oberfl"ache~$O$ der Kugelschale\\
					in Abh"angigkeit von $x$ gilt: ~$O(x)=(x^2\;+675)\cdot\pi\,cm^2$\,!
			\item 	Best"atige damit dein Ergebnis der Aufgabe~(b)\,!
			\end{itemize}	    
	\item 	Berechne $x$ so, dass die Oberfl"ache der Halbkugelschale\\
			f"unfmal so gro"s wie die der Vollkugel ist!
	\item 	Berechne f"ur ~$x=7{,}5$~ das Volumen der Halbkugelschale in~$dm^3$\,!
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	Zeige, dass f"ur das Volumen $V$ der Kugelschale\\
					in Abh"angigkeit von $x$ gilt: ~$V(x)=\left(2250\;-\tfrac{2}{3}\,x^3\right)\cdot\pi\,cm^3$\,!
			\item 	Best"atige damit dein Ergebnis der Aufgabe~(e)\,!
			\end{itemize}	    
	\item 	Berechne $x$ so, dass die Halbkugelschale genau so schwer wie die Vollkugel ist!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh084mn_l1.1}
			\end{center}
			F"ur die Zeichnung gilt: ~Kugelradius~$r=(7{,}5:5)\,cm=1{,}5\,cm$ und\\
			"au"serer Radius der Halbkugelschale~$R=(15:5)\,cm=3\,cm$.\\
			Beginne am besten mit dem Vollkreis!
	\item 	"Au"sere Halbkugel: ~$O_a=\tfrac{1}{2}\cdot4\cdot(15\,cm)\,^2\,\pi=450\,\pi\,cm^2$.\\
			Innere Halbkugel: ~$O_i=\tfrac{1}{2}\cdot4\cdot(7{,}5\,cm)\,^2\,\pi=112{,}5\,\pi\,cm^2$.\\
			Kreisring aus $\overline{AB}$ bzw. $\overline{CD}$: ~$A_{KR}=(15^2\;-7{,}5^2)\,\pi\,cm^2=168{,}75\,\pi\,cm^2$.\\
			Somit ergibt sich f"ur die Oberfl"ache der Halbkugelschale in diesem Fall:\\
			$O_{HKS}=731{,}25\,\pi\,cm^2\approx2297{,}29\,cm^2\approx2297\,cm^2\approx22{,}77\,dm^3$.
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	"Au"sere Halbkugel: ~$O_a=450\,\pi\,cm^2$.\\
					Innere Halbkugel: ~$O_i(x)=\tfrac{1}{2}\cdot4\cdot x\,^2\pi\,cm^2=2\,x^2\,\pi\,cm^2$.\\
					Kreisring aus $\overline{AB}$ bzw. $\overline{CD}$: ~$A_{KR}(x)=(15^2\;-x^2)\,\pi\,cm^2=(225\;-x^2)\,\pi\,cm^2$.\\
					Somit ergibt sich: ~$O(x)=(450\;+2\,x^2\;+225\;-x^2)\,\pi\,cm^2=(x^2\;+675)\,\pi\,cm^2$.
			\item 	$O(7{,}5)=(7{,}5^2\;+675)\pi\,cm^2=731{,}25\,\pi\,cm^2$, siehe L"osung~(b)\,!
			\end{itemize}	    
	\item 	Die Ma"szahlengleichung f"ur $x\in\RR^+$ hei"st:\\
			$5\cdot4\,x^2\,\pi=(x^2\;+675)\,\pi\quad\iff\quad19\,x^2=675\quad\iff\quad x\approx5{,}96$.
	\item 	$V=\left(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot15^3\;-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot7{,}5^3\right)\,\pi\,cm^3
			=1968{,}75\,\pi\,cm^3\approx6185\,cm^3\approx6{,}19\,dm^3$.
	\item 	\begin{itemize}
			\item	$V(x)=\left(\tfrac{2}{3}\cdot15^3\;-\tfrac{2}{3}\,x^3\right)\,\pi\,cm^3=\left(2250\;-\tfrac{2}{3}\,x^3\right)\,\pi\,cm^3$.
			\item 	$V(7{,}5)=\left(2250\;-\tfrac{2}{3}\cdot7{,}5^3\right)\,\pi\,cm^3=1968{,}75\,\pi\,cm^3$, siehe L"osung~(e)\,!
			\end{itemize}	    
	\item 	In der Angabe steht, dass die Halbkugelschale und die Vollkugel aus dem gleichen Material sind.
			Wenn das Volumen der beiden K"orper identisch ist, dann m"ussen auch die zugeh"origen Massen gleich
			sein. Daraus ergibt sich die zugeh"orige Ma"szahlen\-gleichung mit $x\in\RR^+$:\\
			$\left(2250\,-\tfrac{2}{3}\,x^3\right)\,\pi=\tfrac{4}{3}\,x^3\,\pi\quad\iff\quad1125=x^3\quad\Rightarrow\quad x\approx10{,}40$.
	\end{enumerate}
}