%
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\ANG
{
	Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck~$ABC$ mit der Basisl"ange $|\overline{AB}|=12\,cm$
	und dem Basismittelpunkt~$M$. Die Dreiecks\-h"ohe~$\overline{CM}$ ist $5\,cm$ lang.
	Dieses Dreieck ist die Grundfl"ache einer $9{,}5\,cm$~hohen Pyramide~$ABCS$, deren Spitze~$S$ 
	senkrecht "uber dem Mittelpunkt~$M$ liegt.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne f"ur $q=0{,}5$ und $\omega=30^\circ$ ein Schr"agbild der Pyramide~$ABCS$,\\
			so dass auf der Schr"agbildachse~$CM$ der Punkt~$M$ rechts von $C$ liegt!
	\item 	Berechne die Seitenkantenl"ange~$|\overline{CS}|$ und das Ma"s~$\alpha$ des Winkels~$MCS$\,!\\
			Ergebnisse: ~$|\overline{CS}|\approx10{,}74\,cm$~ und ~$\alpha\approx6{,}24^\circ$.
	\item 	Begr"unde ohne Rechnung, dass die Seitenkante~$\overline{AS}$ l"anger als\\
			die Seitenkante~$\overline{CS}$ sein muss!
	\item 	Punkte~$P_n$ auf der Kante~$\overline{CS}$ sind Eckpunkte von Dreiecken~$ABP_n$,
			welche mit der Grundfl"ache~$ABC$ jeweils den Neigungs\-winkel~$P_nMC$ mit dem Ma"s $\varphi$ bilden.
			Zeichne in das Schr"agbild f"ur ~$\varphi=40^\circ$~ das Dreieck~$ABP_1$ und
			berechne alle Innenwinkelma"se dieses Dreiecks!
	\item 	Das rechtwinklige Dreieck~$ABP_2$ hat die Seite~$\overline{AB}$ als Hypotenuse.\\
			Konstruiere dieses Dreieck~$ABP_2$ im Schr"agbild!
	\item 	Untersuche, ob es unter allen Dreiecken~$ABP_n$ auch gleichseitige gibt!
	\item 	Das Ma"s~$\varphi$ der Neigungswinkel der Dreiecke~$ABP_n$ zur Grundfl"ache~$ABC$ w"achst von 
			$0^\circ$ bis $90^\circ$. Eines der drei unten stehenden Diagramme beschreibt graphisch den
			Zusammen\-hang zwischen dem Winkel\-ma"s~$\varphi$ und dem zugeh"origen Ma"s~$\varepsilon$ des
			Innen\-winkels~$AP_nB$ der Dreiecke~$ABP_n$ n"aherungs\-weise korrekt.
			Die beiden anderen stellen diesen Zusammenhang falsch dar.
			Welche beiden sind das? Begr"unde jeweils deine Antwort!
			\begin{center}
				\includegraphics{09bm001mn_l01.2}
				\includegraphics{09bm001mn_l02.3}
				\includegraphics{09bm001mn_l03.4}
			\end{center}      
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	Siehe Zeichnung!
			\begin{center}
				\includegraphics{09bm001mn_l.1}
			\end{center}
	\item 	$|\overline{CS}|=\sqrt{5^2\,+9{,}5^2}\,cm^2\approx10{,}74\,cm.~~\alpha=\tan^{-1}\left(\tfrac{9{,}5}{5}\right)\approx62{,}24^\circ$.
	\item   Die in~$M$ rechtwinkligen Dreiecke~$CMS$ und $AMS$ besitzen die gemeinsame Kathete~$\overline{MS}$.
			Die Kathete~$\overline{AM}$ ist l"anger als die Kathete~$\overline{CM}$, was dann auch f"ur die zugeh"origen
			Hypotenusen~$\overline{AS}$ und $\overline{CS}$ gilt.
	\item 	Siehe Zeichnung!\\
			$\sphericalangle CP_1M=180^\circ-40^\circ-62{,}24^\circ=77{,}76^\circ~$
            $\Rightarrow~|\overline{P_1M}|=\sin({\small62{,}24^\circ})\cdot\tfrac{5\,cm}{\sin({\scriptsize77{,}76^\circ})}\approx4{,}53\,cm$.\\
			Die H"ohe~$\overline{P_1M}$ liegt auf der Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks~$ABP_1$:\\
			$\sphericalangle MAP_1=\tan^{-1}\left(\tfrac{4{,}53}{6}\right)\approx37{,}05^\circ~$
			$\Rightarrow~\varepsilon=\sphericalangle AP_1B=180^\circ-2\cdot37{,}05^\circ=105{,}90^\circ$.
	\item   Das rechtwinklige Dreieck~$ABP_2$ besitzt den THALES-Kreis "uber der Hypotenuse~$\overline{AB}$
			mit dem Radius~$r=6\,cm$. Weil das Dreieck~$CMS$ in wahrer Gr"o"se erscheint, schneidet ein Kreis~$k$ mit
			Mittelpunkt~$M$ und Radius~$r$ die Seitenkante~$\overline{CS}$ im Punkt~$P_2$.
	\item 	Wenn unter den Dreiecken~$ABP_n$ ein gleichseitiges Dreieck sein soll, dann muss einer von dessen Innenwinkeln,
			z.\,B.~$\sphericalangle BAP_n$, das Ma"s $60^\circ$ besitzen. Je n"aher $P_n$ an die Spitze~$S$ der	Pyramide
			heran\-r"uckt, desto l"anger wird die H"ohe~$\overline{P_nM}$ und desto gr"o"ser wird das Ma"s des Innenwinkels~$BAP_n$.\\
			Im maximalen $\triangle ABS$ gilt aber: ~$\sphericalangle BAS=\tan^{-1}\left(\tfrac{9{,}5}{6}\right)\approx57{,}72^\circ<60^\circ$.\\
			Die Ma"se der Innenwinkel der Dreiecke~$ABP_n$ erreichen also f"ur keinen der Punkte~$P_n$ das Ma"s~$60^\circ$.
			Damit existiert unter allen Dreiecken~$ABP_n$ kein gleichseitiges.
	\item 	Im Diagramm~I beginnt der Graph im Ursprung, was bedeutet, dass dem Winkelma"s~$\varphi=0^\circ$ das Winkelma"s~$\varepsilon=0^\circ$
			zugeordnet ist. Folglich m"usste das Dreieck~$ABC$ wegen $\varepsilon=0^\circ$ zur Strecke entarten.
			Das ist offen\-sichtlich nicht der Fall.\\
			Aus dem Diagramm~III kannst du ablesen, dass sich das Winkelma"s~$\varepsilon$ nicht "andert, also vom
			Winkelma"s~$\varphi$ unabh"angig ist. Der Punkt~$P_3$ jedoch (vgl.~Zeichnung) besitzt unter allen Punkten~$P_n$
			die k"urzeste Entfernung zur Basis~$\overline{AB}$. Also muss dort das Winkelma"s~$\varepsilon$ am gr"o"sten
			ausfallen. Daher muss dieses Winkelma"s ver"anderlich sein, womit die Darstellung im Diagramm III auch falsch ist.
	\end{enumerate}
}