
%
\ANG
{Gegeben ist die Parabel $p_0$ durch die Gleichung $y = 0,5x^2+2x+1000$.
\begin{enumerate}
\item Gib die Gleichung einer Parabel $p_1$ an, welche die gleichen Scheitelkoordinaten wie die Parabel $p_0$
      besitzt, die aber nicht zur Parabel $p_0$ kongruent ist.
\item Gib die Gleichung einer Parabel $p_2$ an, die zur Parabel $p_0$ kongruent ist und deren Scheitel
      gleichzeitig auf der $x$-Achse liegt.
\item Es gibt beliebig viele Parabeln, welche die Parabel $p_0$ meiden und deren Scheitel im II. Quadranten
      liegen. Gib die Gleichung einer dieser Parabeln an und f"uhre den Nachweis.
\item Es gibt beliebig viele Parabeln, welche mit der Parabel $p_0$ nur einen Punkt gemeinsam haben.
      Gib die Gleichung einer dieser Parabeln an und f"uhre den Nachweis.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $y = 0,5x^2+2x+1000 = \ldots = 0,5\cdot (x+2)^2+998\quad\Rightarrow\quad S_0(-2\mid 998)$\\
      Skizziere die Parabel $p_0$.\\
      Z.B. $p_1: y = -0,17296\cdot (x+2)^2+998$
\item Z.B. $p_2: y = -0,5\cdot (x-\frac{22}{7})^2$
\item W"ahle unter den beliebig vielen Parabeln, die in Frage kommen, am besten eine Parabel (nenne sie
      $p_3$) aus, die zur Parabel $p_0$ kongruent ist, die aber nach unten ge"offnet ist: Der Formfaktor hat dann
      den Wert $-0,5$.\\
      W"ahle dann am besten deren Scheitel so aus, dass dieser genau unterhalb des Scheitels 
      $S_0(-2\mid 998)$ liegt, also z.B. $S_3(-2\mid 997)$.\\
      Diese Parabel $p_3$ hat dann die Gleichung $y = -0,5\cdot (x+2)^2+997$.
\item \GF{$\cdots$ nur einen Punkt gemeinsam hat} er"offnet zweierlei L"osungsm"oglichkeiten:
      \begin{itemize}
      \item[($\alpha$)] Die gesuchte Parabel schneidet die Parabel $p_0$ nur in einem Punkt
      \item[($\beta$)] Die gesuchte Parabel ber"uhrt die Parabel $p_0$
      \end{itemize}
      Die einfachste M"oglichkeit der Auswahl besteht in der M"oglichkeit ($\alpha$):\\
      Die Parabel $p_0$ wird nach rechts oder nach links verschoben. Damit beh"alt der Formfaktor den Wert $0,5$
      und die beiden Symmetrieachsen liegen parallel. Damit verlaufen auch die Parabel"aste so, dass sie sich
      nur einmal "uberkreuzen.\\
      Also z.B.: $p_4: y = 0,5\cdot(x+1)^2 +998$. \\
      Rechnerisch w"urde sich dann mit der Parabel $p_4$ die folgende Gleichung ergeben:\\
      $0,5\cdot (x+2)^2+998 = 0,5\cdot (x+1)^2+998 \ldots\quad\Leftrightarrow\quad 2x = -3
      x=-1,5$.\\
      Egal, wie weit du die Parabel $p_0$ nach rechts oder links verschiebst: Rechnerisch hebt sich stets nach
      dem Gleichsetzen der Summand mit dem Faktor $x^2$ weg.\\
      In der M"oglichkeit ($\beta$) m"usstest du nach einer Parabel $p_5$ suchen, welche die Parabel $p_0$ 
      ber"uhrt. Eine entsprechende Parabelgleichung  ist nicht so schnell und auch nicht so leicht zu finden, wie
      in der M"oglichkeit ($\alpha$).
      
\end{enumerate}
}              

