%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh027mn_a.1}
    \end{center}
	Auf der Kreislinie~$k$ mit dem Mittelpunkt~$M(0\mid0)$ und dem Radius~$4\,cm$ liegen Punkte~$T_n$,
	die Ber"uhr\-punkte von Kreisen~$k_n$ mit dem Mittelpunkt~$M_n(x\mid y)$ sind.
	Alle diese Kreise~$k_n$ ber"uhren jeweils auch die $x$-Achse.\\
	Liegen die Punkte~$T_n$ "uber der $x$-Achse, dann sollen die Ber"uhr\-kreise~$k_n$ innerhalb des Kreises~$k$ liegen.
	Befinden sich die Punkte~$T_n$ unter der $x$-Achse, dann sollen die Ber"uhr\-kreise~$k_n$ au"serhalb des Kreises~$k$ liegen.\\
	In der obigen Darstellung sind zwei Ber"uhr\-kreise~$k_1$ und $k_2$ mit den Ber"uhr\-punkten~$T_1$ und $T_2$ eingezeichnet.
	Am Ber"uhr\-punkt~$T_1$ ist die zugeh"orige Kreis\-tangente~$t_1$ und am Ber"uhr\-punkt~$T_2$ ist die zugeh"orige Kreis\-tangente~$t_2$
	ausschnittsweise zu sehen.
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Begr"unde, dass der Mittelpunkt~$M_1$ des Ber"uhrkreises~$k_1$\\
					auf der Halbierenden des Winkels~$T_1S_1M$ liegt!
            \item 	Weise durch die Konstruktion dieser Winkelhalbierenden~$w_1$ nach,\\
					dass der Punkt~$M_1$ richtig eingezeichnet ist!
			\end{itemize}
	\item 	Konstruiere den Mittelpunkt~$M_2$ der Kreislinie~$k_2$\,!
	\item 	F"ur welche der Ber"uhrpunkte~$T_n$ gibt es nur entartete Ber"uhrkreise?
	\item 	Alle Kreismittelpunkte~$M_n$ liegen auf einer Parabel~$p$.
			\begin{itemize}
			\item	Beschreibe ohne Rechnung die Lage und die Eigenschaften\\
					der Parabel~$p$ m"oglichst genau!
            \item	Leite aufgrund der Lage besonderer Parabelpunkte\\
					die Gleichung ~$p\mathord{:}~~y=-0{,}125\,x^2\;+2$~ her!
            \item 	Best"atige rechnerisch diese Parabelgleichung mithilfe des Dreiecks~$MF_1M_1$\\
					als Stellvertreter aller rechtwinkligen Dreiecke~$MF_nM_n$!
			\end{itemize}
	\item	Wie viel Prozent des Fl"acheninhalts vom Kreis~$k$ belegt ein Ber"uhr\-kreis,\\
			dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden des I.~Quadranten liegt?
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh027mn_l1.1}
    \end{center}
	\begin{enumerate}
    \item	Der Mittelpunkt~$M_1$ muss sowohl zur Tangente $t_1$ als auch zur $x$-Achse den gleichen
			Abstand besitzen. Alle Punkte, die jeweils von diesen beiden Geraden mit dem Schnittpunkt~$S_1$
			den gleichen Abstand besitzen, liegen auf der Halbierenden~$w_1$ des Winkels $T_1S_1F_1$.
			Diese Halbgerade verl"auft dann durch den Punkt~$M_1$.
	\item	Die Tangente~$t_2$ schneidet die $x$-Achse im Punkt~$S_2$. Dort bildet die Tangente~$t_2$ mit der 
			$x$-Achse einen stumpfen Winkel im III.~Quadranten. Die Halbgerade~$w_2$ halbiert diesen Winkel.
			Dann folgt: ~$[MT_2 \cap w_2 = \{M_2\}$.
    \item	F"ur $T_3(4\mid0)$ und $T_4(-4\mid0)$ entarten die Ber"uhrkreise zu Punkten.\\
			F"ur $T_5(0\mid-4)$ liegt die zugeh"orige Kreistangente waagrecht. Der zugeh"orige Ber"uhrkreis m"usste
			sich am Punkt~$T_5$ nach unten kr"ummen. Er k"onnte dann die $x$-Achse niemals ber"uhren.
			Mann k"onnte die Tangente noch als gigantischen \GF{Ber"uhrkreis} deuten, der die $x$-Achse rechts 
			und links \GF{im Unendlichen} ber"uhrt.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Wenn du den Ber"uhrkreis~$k_1$ an der $y$-Achse spiegelst, dann erh"altst du einen Kreis~$k_1'$
					mit dem Mittelpunkt~$M_1'$, der $k$ ebenfalls von innen ber"uhrt (siehe Zeichnung).\\
					Also liegt der Punkt~$M_1'$ ebenfalls auf der Parabel~$p$. Dasselbe gilt nun f"ur das Spiegelbild~$M_2'$
					des Mittelpunktes~$M_2$ und damit f"ur alle denkbaren Kreismittelpunkte.\\
					Daher ist die $y$-Achse die Symmetrieachse der Parabel~$p$.\\
					Je n"aher die Ber"uhrkreise im I. und II.~Quadranten der $y$-Achse kommen, desto gr"o"ser wird deren
					Durchmesser; d.\,h. desto h"oher liegen die zugeh"origen Kreis\-mittel\-punkte. Der Kreis~$k_0$, dessen
					Durchmesser auf der $y$-Achse liegt, ist am gr"o"sten; d.\,h. dessen Mittelpunkt~$M_0(0\mid2)$ liegt
					am h"ochsten. Das muss dann der Parabelscheitel sein.\\
					Wegen der Lage der Punkte~$T_3$ und $T_4$ muss die Funktionsgleichung der Parabel die Nullstellen~$4$ und $-4$ besitzen.
			\item 	1.\,M"oglichkeit: (Nullstellen~$4$ und $-4$ sowie Scheitel $S(0\mid2)$)\\
					$p$:~~$y=a\cdot(x\;-4)(x\;+4)\quad\wedge\quad S(0\mid2) \in p$:\\
					$2=a\cdot(0\;-4)(0\;+4)\quad\iff\quad a=-0{,}125$\\
					$\Rightarrow~~p$:~~$y=-0{,}125\cdot(x\;-4)(x\;+4)=-0{,}125\cdot(x^2\;-16)=-0{,}125\,x^2\;+2$.\\
					2.\,M"oglichkeit: (Scheitel~$(0\mid2)$ und z.\,B. Punkt~$T_3(4\mid0)$)\\
					$p$:~~$y=a\cdot(x\;-0)^2\,+2\quad\wedge\quad T_3(4\mid0)\in p$:\\
					$0=a\cdot(4\;-0)^2\,+2\quad\iff\quad-2=16\,a\quad\iff\quad a=-0{,}125$ usw.
			\item	Beim Dreieck~$MF_nM_n$ hat der Ortsvektors~$\overrightarrow{MM}_n$ die Katheten\-l"angen\-ma"s\-zahlen\\
					als Koordinaten und er muss auf die Punkte~$S$, $T_3$ und $T_4$ zeigen:\\
					$\overrightarrow{MM}_n={x\choose\,a\,x^2\,+b\,x\;+c\,}={\,0\,\choose\,2\,}\quad\Rightarrow\quad c=2$\\
					$\phantom{\overrightarrow{MM}_n=\;}{x\choose\,a\,x^2\,+b\,x\;+2\,}={\,4\,\choose\,0\,}\quad\Rightarrow\quad b=-4\,a\;-0{,}5$\\
					$\phantom{\overrightarrow{MM}_n=\;}{x\choose\,a\,x^2\,-(4\,a\;+0{,}5)\,x\;+2\,}={\,-4\,\choose\,0\,}
					\quad\Rightarrow\quad a=-0{,}125\quad\Rightarrow\quad b=0$.
			\end{itemize}
	\item	Dieser Kreis sei~$k_6$ mit dem Mittelpunkt~$M_6$.\\
	        Auf der Winkelhalbierenden des I.~Quadranten gilt $y=x$.\\
			Mit dem Ergebnis aus Aufgabe~(d) folgt mit $G=\RR^+$ dann:\\
			$x=-0{,}125\,x^2\,+2\quad\iff\quad0{,}125\,x^2\,+x\;-2=0\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=\frac{-1\,\pm\,\sqrt{2}}{0{,}25}$.\\
			Wegen $G=\RR^+$ muss das Minuszeichen im Z"ahler entfallen.\\
			Also: ~$x=4\,(\sqrt{2}\;-1)\quad\Rightarrow\quad\frac{A_{k_6}}{A_k}=\frac{4^2(\sqrt{2}\;-1)^2\cdot\pi}{4^2\,\pi}=3\;-2\,\sqrt{2}\approx17{,}16\,\%$.
	\end{enumerate}
}