
%
\ANG
{
	Gegeben sind die beiden Geraden~$g_1$ und $g_2$ durch die Gleichungen\\
	\centerline{$g_1\mathord:~~y=0{,}5\,x$ ~~~und~~~ $g_2\mathord{:}~~y=-0{,}5\,x\;+2$.}\\
	Die Punkte~$A_n(x\mid0{,}5\,x)$ auf der Geraden~$g_1$ erzeugen zusammen mit
	den Punkten~$B_n$ auf der Geraden~$g_2$	~Kreise~$k_n$ mit dem Durchmesser~$\overline{A_nB}_n$.
	Die Abszisse der Punkte~$B_n$ ist stets um 2 gr"o"ser als die Abszisse~$x$ der Punkte~$A_n$.
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Zeichne die beiden Geraden~$g_1$ und $g_2$ und deren Schnittpunkt~$S$\\
					in das Koordinatensystem!
			\item	Zeichne f"ur ~$x=4$~ den Kreis~$k_1$ mit seinem Durchmesser~$\overline{A_1B}_1$\\
					und f"ur ~$x=-3$~ den Kreis~$k_2$ mit seinem Durchmesser~$\overline{A_2B}_2$ ein!
			\end{itemize}
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh022mn_a1.1}
			\end{center}
	\item	Zeige, dass ~$B_n(x\;+2\mid-0{,}5\,x\;+1)$~ gilt!
	\item 	Begr"unde auf verschiedene Weise, dass der Durchmesser~$\overline{A_2B}_2$\\
			auf der Geraden~$g_2$ senkrecht steht!
	\item	Es gibt einen Kreis~$k_3$, der die Gerade~$g_1$ ber"uhrt.\\
			Berechne den zugeh"origen $x$-Wert!
	\item 	Berechne die Gleichung der Ortslinie der Mittelpunkte~$M_n$\,!
	\item 	Zeige, dass f"ur die L"ange der Durchmesser~$\overline{A_nB}_n$ in Abh"angigkeit von $x$ gilt:\\
			\centerline{$|\overline{A_nB}_n|(x) = \sqrt{x^2\;-2\,x\;+5\,}\,cm\,$!}
	\item 	Fritz behauptet:
			\GF{Wenn die Kreisfl"ache minimal wird, dann liegt der betreffende Kreis\-mittelpunkt dem Geradenschnittpunkt~$S$ am n"achsten.}
			Begr"unde auf ver\-schiedene Weise, dass Fritz Recht hat!
	\item	Unter allen Kreisen~$k_n$ gibt es zwei, welche einen Fl"acheninhalt von $17\,\pi\,cm^2$ auf\-weisen.
			Berechne die zugeh"origen Abszissenwerte!
	\item	Unter allen Kreisen~$k_n$ gibt es zwei, welche die $y$-Achse ber"uhren.
			Berechne die zugeh"origen $x$-Werte!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh022mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	Es gilt: ~$B_n(x\;+2\mid -0{,}5\cdot(x\;+2)\;+2)\quad\Rightarrow\quad B_n(x\;+2\mid-0{,}5\,x\;+1)$.
	\item 	1.~M"oglichkeit: (aus der Zeichnung)\\
			Im rechtwinkligen Dreieck~$A_2F_2B_2$ gilt: ~$\alpha\;+\beta=90^\circ$.~~(*)\\
			Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks~$A_2F_2B_2$ sind jeweils doppelt so lang
			wie die des rechtwinkligen Dreiecks~$H_2G_2B_2$. Also sind diese beiden Dreiecke zueinander "ahnlich.
			Somit gilt: ~$\sphericalangle H_2B_2G_2=\alpha$ ~~und~~ $\sphericalangle B_2G_2H_2=\beta$.
			Wegen~(*) muss der Punkt~$B_2$ der Scheitel eines rechten Winkels sein.
			Also folgt: ~$\overline{A_2B}_2\perp g_2$.\\
			~\\
			2. M"oglichkeit: (rechnerisch)\\
			Der Steigungsfaktor der Strecke~$\overline{A_2B}_2$ m"usste so gro"s wie der negative
			Kehrwert von dem Steigungs\-faktor~$-0{,}5$ der Geraden~$g_2$, also~$2$ sein:\\
			$A_2(-3\mid-0{,}5\cdot(-3)\;+1)=(-3\mid-1{,}5)$ ~~und~~ $B_2(-3\;+2\mid-0{,}5\cdot(-3)\;+1)=(-1\mid2{,}5)$.\\
			Also gilt: ~$m_{\overline{A_2B}_2}=\frac{2{,}5\;+1{,}5}{-1\;+3}=2$, was zu zeigen war.      
			Somit folgt: ~$\overline{A_2B}_2\perp g_2$.
	\item 	Der Durchmesser~$\overline{A_3B}_3$ muss auf der Geraden~$g_1$ senkrecht stehen, wenn
			der betreffende Kreis die Gerade~$g_1$ ber"uhren soll. Der Wert eines der Steigungsfaktoren
			der Durch\-messer~$\overline{A_nB}_n$ muss also der negative Kehrwert des Steigungsfaktors von~$g_1$ sein.\\
			Somit ergibt sich: ~$m_{\overline{A_nB}_n}=\frac{(-0{,}5\,x\;+1)\;-0{,}5\,x}{(x\;+2)\;-x}=\frac{-x\;+1}{2}$.\\
			Also: ~$\tfrac{1}{2}\,(-x\;+1)=-2\quad\iff\quad x=5$.
	\item 	Es gilt: ~$M_n\left(\frac{(x\;+2)\;+\,x}{2}\,\middle|\,\frac{(-0{,}5\,x\;+1)\;+0{,}5\,x}{2}\right)=(x\;+1\mid0{,}5)$.
			Der $y$-Wert ist also immer konstant~$0{,}5$, wodurch die Gleichung der Ortslinie der Mittel\-punkte~$M_n\mathord{:}~~y=0{,}5$~ ist.
			Die Kreis\-mittel\-punkte liegen also auf einer Parallelen zur $x$-Achse im Abstand von $0{,}5\,LE$, die durch den I. und II.~Quadranten verl"auft.
	\item	$|\overline{A_nB}_n|(x)=\sqrt{\D(x\;+2\;-x)^2\;+(-0{,}5\,x\;+1\;-0{,}5\,x)^2\,}\,cm$\\
			$\phantom{|\overline{A_nB}_n|(x)}=\sqrt{\D2^2\;+(1\;-x)^2\,}\,cm$\\
			$\phantom{|\overline{A_nB}_n|(x)}=\sqrt{\D x^2\;-2\,x\;+5\,}\,cm$.
	\item 	1.~M"oglichkeit: (mit Hilfe der Zeichnung)\\
			Die Kreisfl"ache wird minmal, denn der betreffende Kreisdurchmesser am kleinsten ist.
			Das Ergebnis der Aufgabe~(f) weist darauf hin, dass es einen k"urzesten Durch\-messer~$\overline{A_0B}_0$ gibt.\\
			Die Kreisdurchmesser sind die Hypotenusen der begleitenden rechtwinkligen Dreiecke (siehe z.\,B. das Dreieck~$A_2F_2B_2$ in der Zeichnung). 
			Die waagrechte Kathete dieser Dreiecke ist stets~$2\,cm$ lang, weshalb der Kreisdurchmesser nicht k"urzer werden kann.
			Um dieser L"ange nahe zu kommen, muss der Durchmesser m"oglichst waagrecht liegen.
			Alle Punkte~$A_n$ auf der Geraden~$g_1$, die rechts vom Punkt~$S$ liegen, erzeugen schr"ag abw"arts
			gerichtete Kreisdurchmesser, die mit wachsenden Abszissenwert $x$ eher steiler als flacher verlaufen.
			Ebenso geht es mit Durchmessern~$\overline{A_nB}_n$, deren Endpunkte beide links von $S$ liegen.
			Auch sie lassen	sich nicht in die Waagrechte zwingen.\\
			Also kann der gesuchte waagrechte Durchmesser nur dort gefunden werden, wo ein Endpunkt
			links und der andere rechts von~$S$ liegt. Aus Symmetriegr"unden muss dann der betreffende Endpunkt~$A_0(1\mid0{,}5)$
			und der zugeh"orige Punkt~$B_0(3\mid0{,}5)$ jeweils $1\,cm$ links bzw. rechts von~$S$ liegen. Die Strecke $\overline{A_0B}_0$ ist dann $2\,cm$ lang
			und stellt das zur Strecke entartete begleitende Dreieck dar. Der Streckenmittelpunkt~$M_0(2\mid0{,}5)$ kommt dann dem Punkt~$S$
			am n"achsten. Fritz hat somit Recht. Betrachte auch die Zeichnung!\\
			~\\
			2.~M"oglichkeit: (durch Rechnung)\\
			$\sqrt{\D x^2\;-2\,x\;+5\,}=\sqrt{\D(x\;-1)^2\;+4\,}$ liefert f"ur $x=1$ mit~$d_{min}=2\,cm$ den minimalen Durch\-messer
			und damit auch die minimale Kreisfl"ache. Die Koordinaten des zugeh"origen Mittelpunktes sind nach Aufgabe~(e): ~$M_0(2\mid0{,}5)$.\\
			Aus der Zeichnung kann man die Koordinaten des Geradenschnittpunktes~$S\,(2\mid1)$ ablesen,
			was du durch Einsetzen in beide Geradengleichungen best"atigen k"onntest.\\
			Also stellt die Strecke~$\overline{M_0S}$ die k"urzeste Entfernung zwischen der Ortslinie und dem Punkt~$S$ dar. Fritz hat also Recht.
	\item 	$\left(\D\tfrac{1}{2}\sqrt{x^2\;-2\,x\;+5}\right)^2\pi=17\,\pi\quad\iff\quad x^2\;-2\,x\;+5=4\cdot17$\\
			$\iff\quad x^2\;-2\,x\;-63=0 \quad\iff\quad\ldots\quad\Rightarrow~~x_1=9$ ~~und~~ $x_2=-7$.
	\item 	Der Abstand der betreffenden Mittelpunkte zur $y$-Achse, also ihr Abszissen\-wert~$x\;+1$ muss genauso gro"s wie der zugeh"orige Kreisradius sein:\\
			$\tfrac{1}{2}\sqrt{x^2\;-2\,x\;+5}=x\;+1~\mid^{^2}\,\mid^{\cdot4}\quad\Rightarrow\quad x^2\;-2\,x\;+5\,=\,4\,x^2\;+8\,x\;+4$\\
			$\iff\quad3\,x^2\;+10\,x\;-1\,=\,0\quad\Rightarrow\quad D^*=112$ ~~und~~ $\sqrt{D^*}\approx10{,}58$\\
			$\Rightarrow\quad x_{1/2}\approx\D\tfrac{-10\;\pm\,10{,}58}{6}\quad\Rightarrow\quad x_1\approx-3{,}43$ ~~und~~ $x_2\approx0{,}10$.\\
			F"ur beide Abszissenwerte existieren die betreffenden Durchmesser.
	\end{enumerate}
}              
