%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09cm001mn_a.1}
    \end{center}
	Dargestellt ist das gleichschenklige Trapez~$ABCD$ mit $|\overline{AB}|=10\,cm$, $|\overline{CD}|=8\,cm$ und $h=5\,cm$.
	Man erh"alt neue Trapeze~$A_nB_nC_nD_n$ dadurch, indem man die Grund\-seite~$\overline{AB}$ "uber~$A$ und~$B$ hinaus
	um jeweils~$x\,cm$ verl"angert und gleichzeitig die	Trapez\-h"ohe~$h$ um~$0{,}5\,x\,cm$ verk"urzt.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne das Trapez~$A_1B_1C_1D_1$ f"ur $x=2$\,!
	\item 	Gib alle Belegungen f"ur~$x$ an, f"ur die es neue Trapeze~$A_nB_nC_nD_n$ gibt!
	\item 	Berechne den Fl"acheninhalt des urspr"unglichen Trapezes!
	\item 	Berechne allgemein den Fl"acheninhalt~$A\,(x)$ der neuen Trapeze~$A_nB_nC_nD_n$\\
			in Abh"angigkeit von $x$. Ergebnis: ~$A\,(x)=(-0{,}5\,x^2\;+0{,}5\,x\;+45)\,cm^2$.
	\item 	Unter allen Trapezen~$A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Trapez~$A_2B_2C_2D$	mit maximalem Fl"acheninhalt.
			Berechne dieses Maximum und die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Um wie viel Prozent ist dieser maximale Fl"acheninhalt gr"o"ser\\
			als der Fl"acheninhalt des urspr"unglichen Trapezes?
	\item 	Begr"unde ohne Rechnung, warum unter den Trapezen~$A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck ist!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09cm001mn_l.1}
			\end{center}
	\item 	$x=0$ liefert keine neuen Trapeze und f"ur $x=10$ entartet das Trapez zur Strecke.\\
			Also muss gelten: $x\,\in\,]0;\,10[\,_{\RR}$.
	\item 	$A_{ABCD}=\tfrac{1}{2}\,(10\;+8)\cdot 5\,cm^2=45\,cm^2$.
	\item   $A\,(x)/cm^2=0{,}5\cdot(10\;+2\,x\;+8)\cdot(5\;-0{,}5\,x)$\\
			$\phantom{A\,(x)/cm^2}=0{,}5\cdot(2\,x\;+18)\cdot(-0{,}5\,x\;+5)$\\
			$\phantom{A\,(x)/cm^2}=0{,}5\cdot(-x^2\;+10\,x\;-9\,x\;+90)$\\
			$\phantom{A\,(x)/cm^2}=-0{,}5\,x^2\;+0{,}5\,x\;+45$
	\item	$\phantom{A\,(x)/cm^2}=-0{,}5\left(x^2\;-1\,x\;+(0{,}5)^2\;-0{,}25\right)\;+45$\\
			$\phantom{A\,(x)/cm^2}=-0{,}5\,(x\;-0{,}5)^2\;+45{,}125$\\
			$\Rightarrow~~A_{max}=45{,}125\,cm^2$ ~f"ur~ $x=0{,}5$.
	\item 	$\frac{A_{max}\;-A_{ABCD}}{A_{ABCD}}=\frac{45{,}125\,cm^2\;-45\,cm^2}{45\,cm^2}\approx0{,}0028=0{,}28\,\%$.
	\item 	Die Seiten~$\overline{DC}$ und $\overline{AB}$ m"ussten gleich lang werden. Da aber schon $|\overline{AB}|>|\overline{CD}|$
			gilt und die Seite $\overline{AB}$ noch weiter verl"angert wird, die L"ange der Seite~$\overline{CD}$ dagegen unver"andert
			bleibt, kann unter den neuen Trapezen kein Rechteck entstehen.
	\end{enumerate}
}