%
%
\ANG
{
	Die Parabel~$p$: ~$y=-x^2\;-2\,x\;+3$~ und ihre Tangente~$g$: ~$y=-2\,x\;+3$~ werden mit dem Streckungsfaktor~$k=-1{,}5$
	am Zentrum~$Z\,(1\mid 3)$ gestreckt, so dass die Bildparabel~$p\,'$ und die Bildgerade~$g\,'$
	entstehen. Ein Ausschnitt der Parabel~$p$ mit ihrem Scheitel~$S$ ist im folgenden Koordinatensystem dargestellt.\\ 
	Auf der Parabel~$p$ wandern Punkte~$C_n(x\mid-x^2\;-2\,x\;+3)$, die zusammen mit den Punkten $A\,(-3\mid0)$
	und $B\,(0\mid-1)$ Dreiecke~$ABC_n$ erzeugen, die auch durch die vorliegende zentrische Streckung auf Dreiecke~$A'B'C'_n$
	abgebildet werden.
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh021mn_a.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Berechne die Funktionsgleichung der Bildparabel~$p\,'$\,!\\
			Ergebnis: ~$y=\tfrac{2}{3}\,(x\;-4)^2\;+1{,}5$.
	\item 	Zeichne zur Parabel~$p$ die Tangente~$g$ und das Bild~$p\,'$ mit dem Scheitel~$S'$\\
			sowie f"ur ~$x=-2{,}5$~ das Dreieck~$ABC_1$ ins Koordinatensystem ein!
	\item 	Zeichne dort auch die Gerade~$g\,'$ sowie das Dreieck~$A'B'C'_1$ ein\\
			und weise nach,	dass~$g\,'$ eine Tangente an die Parabel~$p\,'$ ist!
	\item 	Das Dreieck~$ABC_1$ hat einen Fl"acheninhalt von $2{,}875\,cm^2$.\\
			Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks~$A'B'C'_1$\,!
	\item 	$A'_{\triangle}(x)=(-3{,}375\,x^2\;-5{,}625\,x\;+13{,}5)\,cm^2$~ beschreibt den Fl"acheninhalt\\
			der Dreiecke~$A'B'C'_n$ in Abh"angigkeit vom Abszissenwert~$x$ der Punkte~$C_n$.\\
			Zeige, dass f"ur den Fl"acheninhalt~$A_{\triangle}(x)$ der Dreiecke~$ABC_n$\\
			in Abh"angigkeit von~$x$ gilt: ~$A_{\triangle}(x)=(-1{,}5\,x^2\;-2{,}5\,x\;+6)\,cm^2$\,!
	\item 	Begr"unde, dass unter allen Bilddreiecken~$A'B'C'_n$\\
			das Dreieck~$A'B'S'$ nicht das fl"achengr"o"ste ist!
	\end{enumerate}}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Zun"achst ergibt sich~$S(-1\mid4)\in p$ und $T(0\mid3)\in p$. Weiter sei $S'(x_{S'}\mid y_{S'})$.\\
            Aus ~$\overrightarrow{ZS'}=k\cdot\overrightarrow{ZS}$~ folgt:\quad
			$\begin{pmatrix}x_{S'}&-1\\y_{S'}&-3\end{pmatrix}=-1{,}5\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\4&-3\end{pmatrix}$\\
			Daraus ergibt sich:
			\begin{tabular}{r c c r c l}
						&$x_{S'}\,-1$ &= &$3$      &$\Rightarrow$ &$x_{S'}=4$\\
			$\wedge$ 	&$y_{S'}\,-3$ &= &$-1{,}5$ &$\Rightarrow$ &$y_{S'}=1{,}5$    
			\end{tabular}\\
			Also: ~$S'(4\mid1{,}5)\quad\Rightarrow\quad p\,'$:~~$y=a\,'\,(x\;-4)^2\;+1{,}5$.\\
			Da~$T$ und $Z$ die gleichen $y$-Werte besitzen, folgt durch Abz"ahlen: ~$T\,'(2{,}5\mid3)$.\\
			Eingesetzt in die Gleichung von $p\,'$: ~$3=a\,'\,(2{,}5\;-4)^2\;+1{,}5\quad\Rightarrow\quad a\,'=\tfrac{2}{3}$.
    \item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh021mn_l.1}
			\end{center}
	\item 	Siehe Zeichnung! Die Gerade~$g\,'$: ~$y=-2\,x\;+t\,'$~ muss zur Geraden~$g$ parallel liegen,\\
			denn jede zentrische Streckung ist winkeltreu und mit ~$T\,'(2{,}5\mid3)\in g\,'$ folgt:\\
			$3=-2\cdot2{,}5\;+t\,'\quad\iff\quad t\,'=8$~ und ~$g\,'$: ~$y=-2\,x\;+8$.\\
			$p\,'\cap g\,'$: ~$\tfrac{2}{3}\,(x\;-4)^2\;+1{,}5=-2\,x\;+8\quad\mid^{\cdot3}$\\
			$\ldots\,\iff\quad2\,x^2\;+10\,x\;+12{,}5=0\quad\Rightarrow\quad D^*=10^2\;-4\cdot2\cdot12{,}5=0$.\\
			Also ist die Gerade~$g\,'$ eine Tangente an die Parabel~$p\,'$.\\
			Allgemein gilt: Jede zentrische Streckung ist {\bf "`tangententreu"'}.
	\item 	Siehe Zeichnung! F"ur alle m"oglichen Fl"acheninhalte~$A$ gilt bei deren zentrischen Streckung:\\
            $A'=k^2\cdot A$, wobei $A\,'$ der Inhalt der Bildfl"ache ist. Hier gilt: ~$k=-1{,}5$~ und ~$A=2{,}875\,cm^2$
			$\quad\Rightarrow\quad A'=(-1,5)^2\cdot2{,}875\,cm^2=6{,}46875\,cm^2$. 
	\item 	Hier gilt mit ~$k^2\cdot A_{\triangle}(x)=A_{\triangle}'(x)\,$:\\
			$(-1{,}5)^2\cdot A_{\triangle}(x)=(-3{,}375\,x^2\;-5{,}625\,x\;+13{,}5)\,cm^2\quad\mid^{:2{,}25}$\\
			$\iff\quad A_{\triangle}(x)=(-1{,}5\,x^2\;-2{,}5\,x\;+6)\,cm^2$.\\
			{\bf Anmerkung:} ~Nat"urlich kannst du den Fl"acheninhalt~$A_{\triangle}(x)$ auch direkt "uber die
			Fl"achen\-determinante berechnen. Offensichtlich w"are dieser Weg aber weiter.
	\item 	1.\,M"oglichkeit: ~(Extremwertberechnung, aber Vorsicht!)
			\begin{align*}
			A_{\triangle}(x)/cm^2 	&=-3{,}375\,x^2\;-5{,}625\,x\;+13{,}5\\
								&=-3{,}375\left(x^2\;+\tfrac{5}{3}\,x\;-4\right)\\
								&=-3{,}375\left(x^2\;+\tfrac{5}{3}\,x\;+\left(\tfrac{5}{6}\right)^2\;-\tfrac{25}{36}\;-4\right)\\
								&=-3{,}375\left(\left(x\;+\tfrac{5}{6}\right)^2\;-\tfrac{169}{36}\right)\\
								&=-3{,}375\left(x\;+\tfrac{5}{6}\right)^2\;+15{,}84375   
			\end{align*}
			Jetzt w"are es fatal, einfach zu antworten: "`$x=-\tfrac{5}{6}$ liefert $\ldots$ "', denn dieses
			Rechen\-ergebnis deckt sich zun"achst nicht mit den Gegebenheiten in der Zeichnung!	Warum?\\
			Nun, die Variable $x$ ist als {\underline{Abszissenwert der Punkte $C_n$}} festgelegt worden!
			Das bedeutet, dass dieser Abszissenwert zur Parabel~$p$ und nicht zur Parabel~$p\,'$ geh"ort.\\
			Dieser $x$-Wert muss also erst noch der zentrischen Streckung unterworfen werden:\\
			$x'=\left(-\tfrac{5}{6}\;-1\right)\cdot(-1{,}5)=2{,}75$. Wegen $Z(1\mid\ldots)$ muss noch~$1$ addiert werden.\\
			Also betr"agt der $x$-Wert des gesuchten Punktes unter den Punkten~$C_n$, der den maximalen Fl"acheninhalt
			liefert: ~$x_{C'_0}=3{,}75\ne4=x_{S'}$. Daher kann $S'$ nicht der gesuchte Punkt sein.\\
			2.\;M"oglichkeit: ~(anschaulich!)\\
			Unter allen Punkten auf der Parabel~$p\,'$ m"usste der Punkt~$S'$ den gr"o"sten Abstand von der Grund\-linie~$\overline{A'B'}$ besitzen.
			Andererseits muss der Punkt (nenne ihn z.\,B. $C'_0$), der den gr"o"sten Fl"acheninhalt liefern soll, auf der Tangente an die Parabel $p\,'$
			liegen, die zur Grundlinie $\overline{A'B'}$ parallel verl"auft. Die Tangente an die Parabel~$p\,'$ durch den Punkt~$S'$ verl"auft aber
			im Gegensatz zur Gerade~$A'B'$ waagrecht. Also kann der Punkt $S'$ nicht der "`richtige"' Punkt sein. Der Punkt~$C'_0$, der den gr"o"sten
			Fl"achen\-inhalt liefert, liegt etwas links oberhalb des Punktes~$S'$.\\
	\end{enumerate}
}
