%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh071mn_a1}
    \end{center}
	Der Plan zeigt ein quadratisches Biotop~$ABCD$ mit~$15\,m$ Seitenl"ange, in dem
	zwei gerade Radwege mit einer Teerdecke entstehen sollen, die gleich breit sind und
	recht\-winklig aufeinander sto"sen. Die Natursch"utzer legen jedoch Wert darauf,
	dass die geteerten Radwege h"ochstens $25\,\%$ an Biotopfl"ache verbrauchen. 
	\begin{enumerate}
	\item 	In welchem Ma"sstab wurde der Plan erstellt?
	\item	Zeige, dass dem Verlangen der Natursch"utzer im vorliegenden Plan nicht Rechnung
	        getragen wurde und berechne, dass zur Erf"ullung ihrer Forderung
			die Radweg\-breite~$x\,m$ h"ochsten zwei Meter betragen darf!
	\item 	In einem neuen Plan wird diese h"ochstens zul"assige Radwegbreite konstruiert:
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh071mn_a2}
			\end{center}
			Der Mittelpunkt~$M_1$ der Strecke~$\overline{AB}$ wurde dort am Punkt~$B$ auf den Punkt~$M_1'$
			ge\-spiegelt und ist mit seinem Bildpunkt jeweils Mittelpunkt eines Kreisbogens.\\
            Erl"autere den weiteren Konstruktionsweg! Sind die Natursch"utzer zufrieden?   
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	$15\,m=1500\,cm$ entsprechen hier $6\,cm$. Dann ist~$1\,cm$ im Plan in der Wirklich\-keit~$250\,cm$,
			was einem Ma"sstab von $1:250$ entspricht.
	\item	Im Plan ist jeder Radweg~$1\,cm$ breit, womit die Radwege~$2{,}50\,m$ breit w"aren.\\
			Die Gesamtfl"ache~$A_R$ der beiden Radwege betr"agt dann:\\
			$A_R(2{,}5)=15\,m\cdot2{,}5\,m\;+(15\;-2{,}5)\,m\cdot2{,}5\,m=68{,}75\,m^2~\Rightarrow~\frac{68{,}75\,m^2}{225\,m^2}>30\,\%$.\\
			Es gilt mit ~$A_R(x)=(-x^2\;+30\,x)\,m^2$~ der Ansatz:\\
			$0{,}25\cdot225=-x^2\;+30\,x\quad\iff\quad x^2\;-30\,x\;+56{,}25=0$\\
			$\Rightarrow\quad x_{1;2}=15\,\pm7{,}5\,\sqrt{3}$\,!\\
			Das Pluszeichen entf"allt, da $x_1\,cm$ l"anger als die Quadratseite wird.\\
			Also gilt: ~$x=x_{2}=15\,-7{,}5\,\sqrt{3}\approx2,00$.
	\item	Das Dreieck $M_1M_1'S$ ist {\bf gleichseitig} mit der Seitenl"ange $|\overline{AB}|=15\,m$ und\\
			der H"ohe~$|\overline{BS}|=\frac{\sqrt3}{2}\cdot15\,m\quad\Rightarrow\quad|\overline{CS}|=(15\;-7{,}5\,\sqrt3)\,m\approx2\,m=x\,m$.\\
	        Radwegfl"ache~$A_R(2)=(-4\;+60)\,m^2=56\,m^2~\Rightarrow~\frac{56\,m^2}{225\,m^2}\approx24{,}89\,\%<25\,\%$. Ja.
	\end{enumerate}
}