%
%
\ANG
{
	Das Quadrat~$ABCD$ mit der Seitenl"ange~$|\overline{AB}|=6\,cm$ setzt sich aus vier deckungs\-gleichen Rechtecken
	und dem Quadrat~$PQRS$ zusammen. Die k"urzere Seite jedes Rechtecks ist $x\,cm$ lang.
	\begin{center}
		\includegraphics[width=6cm]{09eh072mn_a1}
    \end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur ~$x=1$\,!
	\item 	Berechne~$x$ auf drei verschiedene Arten so, dass alle f"unf Teilfl"achen,\\
			die das Quadrat~$ABCD$ bedecken, gleich gro"s sind!
	\item 	Zeige, dass f"ur ~$x=3\;-\sqrt{3}$~ das Quadrat~$PQRS$ ein Drittel der Fl"ache\\
			vom Quadrat~$ABCD$ belegt! Konstruiere die Figur f"ur diesen $x$-Wert!\\
	        {\bf Tipp:} ~$\sqrt3\,cm=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2\,cm$~ ist so lang wie die H"ohe\\
			\phantom{\bf Tipp: ~}in einem bestimmten gleichseitigen Dreieck. 
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	Die Figur wurde etwas kleiner gezeichnet:
			\begin{center}
				\includegraphics[width=6cm]{09eh072mn_l1}
			\end{center}
	\item	{\bf 1.\,M"oglichkeit:} ~$\frac{1}{5}\cdot A_{ABCD}=A_{Rechteck}\quad\iff\quad 0{,}2\cdot36=x\,(6\;-x)$\\
			{\bf 2.\,M"oglichkeit:} ~$A_{PQRS}=\frac{1}{5}\cdot A_{ABCD}\quad\iff\quad(6\;-2\,x)^2=0{,}2\cdot36$\\
			{\bf 3.\,M"oglichkeit:} ~$A_{Rechteck}=A_{PQRS}\quad\iff\quad x\,(6\;-x)=(6\;-2\,x)^2$\\
			$\iff\quad x^2\;-6\,x\;+7{,}2=0\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=3\;\pm\,\sqrt{1{,}8}$\\
			$\Rightarrow\quad x_1\approx4{,}34>3$~ scheidet aus, da dann die Figur nicht existiert\\
			$\Rightarrow\quad x_2=x=3\;-\sqrt{1{,}8}\approx1{,}66$.
	\item	$A_{PQRS}=\frac{1}{3}\cdot A_{ABCD}\quad\iff\quad(6\;-2\,x)^2=\tfrac{1}{3}\cdot36$\\
			$\iff\quad x^2\;-6\,x\;+6=0\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=3\;\pm\,\sqrt{3}$\\
			$\Rightarrow\quad x_1\approx4{,}73>3$~ scheidet wieder aus\\
			$\Rightarrow\quad x_2=x=3\;-\sqrt{3}\approx1{,}27$.\\
			~\\
            F"ur die Konstruktion ist~$M$ der Mittelpunkt der Strecke~$\overline{AB}$.
			Die Punkte~$M$ und $A$ sind die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen.
			"Uber der Basis~$\overline{DE}$ mit $2\,cm$~L"ange wurde das gleichseitige Dreieck~$DFE$ konstruiert.
            \begin{center}
				\includegraphics[width=6.9cm]{09eh072mn_l2}
            \end{center}
			Also ist die H"ohel"ange $|\overline{MF}|=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot2\,cm=\sqrt{3}\,cm$. Dann gilt:\\
			$|\overline{MF}|=|\overline{MG}|$~ und ~$|\overline{AG}|=(3\;-\sqrt{3})\,cm=x\,cm=|\overline{GP}|$.
	\end{enumerate}
}