%
%
\ANG
{
	In das Rechteck~$ABCD$ mit $|\overline{AB}|=8\,cm$ und $|\overline{BC}|=6\,cm$ werden\\
	Parallelogramme~$P_nQ_nR_nS_n$ einbeschrieben, wobei mit $k\in\,]0;\,1[_{\RR}$ gilt:\\
	$|\overline{AS}_n|=|\overline{CQ}_n|=8\,k\,cm$~ und ~$|\overline{BP}_n|=|\overline{DR}_n|=6\,k\,cm$.
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh139mn_a1.1}
    \end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne das Rechteck~$ABCD$ und f"ur ~$k=0{,}25$~ das Parallelogramm $P_1Q_1R_1S_1$\,!
	\item 	Zeige, dass in Abh"angigkeit von $k$ f"ur das Verh"altnis~$q$ der Fl"acheninhalte\\
			von den Parallelogrammen~$P_nQ_nR_nS_n$	zum Rechteck~$ABCD$ jeweils gilt:
			\begin{center}
				$q\,(k)=\tfrac{A_{P_nQ_nR_nS_n}}{A_{ABCD}}=1\;-2\,k\,(1\;-k)$\,!
			\end{center}
	\item 	$k=0{,}4$~ erzeugt das Parallelogramm~$P_2Q_2R_2S_2$. Wie viel Prozent der Fl"ache\\
			des	Rechtecks~$ABCD$ wird von diesem Parallelogramm eingenommen?
	\item 	Die Parallelogramme~$P_3Q_3R_3S_3$ und $P_4Q_4R_4S_4$ nehmen jeweils $58\,\%$ der Fl"ache\\
			des Rechtecks~$ABCD$ ein. Berechne die zugeh"origen Belegungen von $k$\,!
	\item 	F"ur ~$k=0{,}5$~ wird das Parallelogramm~$P_5Q_5R_5S_5$ erzeugt:
			\begin{itemize}
			\item 	Zeichne dieses Parallelogramm in einer anderen Farbe ein!
			\item 	Um welches besondere Parallelogramm handelt es sich hier?\\
					Begr"unde deine Antwort!
			\item 	Zeige, dass das Parallelogramm~$P_5Q_5R_5S_5$ den kleinsten Fl"acheninhalt hat!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh139mn_l1.1}
			\end{center}
	\item 	Es gilt $\triangle\,S_nBP_n\cong\triangle\,R_nQ_nD$ und $\triangle\,P_nCQ_n\cong\triangle\,AS_nR_n$.
			$A_{ABCD}=48\,cm^2$.\\
			$A_{P_nQ_nR_nS_n}=A_{ABCD}\;-2\cdot A_{\triangle\,S_nBP_n}\;-2\cdot A_{\triangle\,P_nCQ_n}$.\\
			$2\cdot A_{\triangle\,S_nBP_n}=2\cdot0{,}5\cdot|\overline{S_nB}|\cdot|\overline{BP}_n|=(8\;-8\,k)\,cm\cdot6\,k\,cm=48\cdot(1\;-k)\cdot k\,cm^2$.\\
			$2\cdot A_{\triangle\,P_nCQ_n}=2\cdot0{,}5\cdot|\overline{P_nC}|\cdot|\overline{CQ}_n|=(6\;-6\,k)\,cm\cdot8\,k\,cm=48\cdot(1\;-k)\cdot k\,cm^2$.\\
			$A_{P_nQ_nR_nS_n}=48\,cm^2\;-2\cdot48\cdot(1\;-k)\cdot k\,cm^2=48\cdot\left(1^{\phantom{|}}-2\,k\,(1\;-k)\right)\,cm^2$\\
			$\Rightarrow\quad q\,(k)=\frac{A_{P_nQ_nR_nS_n}}{A_{ABCD}}=1\;-2\,k\,(1\;-k)=2\,k^2\;-2\,k\;+1$.
	\item 	$q\,(0{,}4)=1\;-2\cdot0{,}4\cdot(1\;-0{,}4)=0{,}52=52\,\%$.
	\item 	$1\;-2\,k\,(1\;-k)=0{,}58~~\iff~~2\,k^2\;-2\,k\;+0{,}42=0~~\Rightarrow~~k_1=0{,}7\quad\text{und}\quad k_2=0{,}3$
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	Siehe Zeichnung!
			\item 	Es handelt sich um eine Raute. Begr"undung:\\
					Die vier rechtwinkligen Dreiecke~$S_5BP_5$, $P_5CQ_5$, $R_5Q_5D$ und $AS_5R_5$ sind kongruent,
					denn die besitzen jeweils Katheten, die $3\,cm$ bzw. $4\,cm$ lang sind. Also sind auch ihre Hypotenusen,
					die die Seiten des Parallelogramms~$P_5Q_5R_5S_5$ bilden, alle gleich lang.
			\item 	$q\,(k)=2\,k^2\;-2\,k\;+1=2\,(k^2\;-k\;+0{,}5^2\;-0{,}25)\;+1=2\,(k\;-0{,}5)^2\;+0{,}5$.\\
					$k=0{,}5$ liefert den minimalen Fl"achenanteil von $0{,}5=50\,\%$.
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
