%
%
\ANG
{
	Gegeben sind die Parabel~$p\mathord{:}~~y=-0{,}5\,x^2\;-3\,x\;-1$ und die Gerade $g\mathord{:}~~y=-0{,}5\,x\;-4$ mit $x, y\in\RR$.
	Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh024mn10_a.1}
	\end{center}
	Auf der Parabel~$p$ wandern sowohl Punkte~$A_n(x\mid-0{,}5\,x^2\;-3\,x\;-1)$ als auch Punkte~$C_n$.
	Dabei ist der Abszissenwert der Punkte~$C_n$ stets um~$3$ gr"o"ser als der Abszissenwert~$x$ der Punkte~$A_n$.
	\begin{enumerate}
	\item 	Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte~$P$ und $Q$\\
			von der Parabel~$p$ mit der Geraden~$g$\,!
	\item 	Zeige durch Rechnung, dass f"ur die Punkte~$C_n$ in Abh"angigkeit von~$x$\\
			der Punkte~$A_n$ gilt: ~$C_n(x\;+3\mid-0{,}5\,x^2\;-6\,x\;-14{,}5)$~!
	\item 	Mit dem Punkt~$B\,(-4\mid-2)$ werden zwischen Gerade und Parabel Dreiecke~$A_nBC_n$ erzeugt.
			Zeichne f"ur ~$x=-5$~ das Dreieck $A_1BC_1$ in obiges Koordinaten\-system ein!
	\item 	Berechne den Fl"acheninhalt~$A(x)$ der Dreiecke~$A_nBC_n$ in Abh"angigkeit von $x$\,!\\
			Ergebnis: ~$A(x)=(0{,}75\,x^2\;+8{,}25\,x\;+28{,}5)\,cm^2$. 
	\item 	Das Dreieck~$A_2BC_2$ weist den kleinsten Fl"acheninhalt auf.\\
			Berechne dieses Minimum und die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Beim Dreieck~$A_3BC_3$ gilt: ~$\sphericalangle BA_3C_3=\sphericalangle A_3BP$.\\
			Berechne den zugeh"origen Abszissenwert~$x$\,!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics{09eh024mn10_l.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item	$-0{,}5\,x^2\;-3\,x\;-1=-0{,}5\,x\;-4\quad\iff\quad-0{,}5\,x^2\;-2{,}5\,x\;+3=0$\\
			$\Rightarrow\quad\sqrt{D^*}=\sqrt{12{,}25^{\phantom{|}}}=3{,}5\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=\frac{2{,}5\,\pm\,3{,}5}{-1}$\\
			$\Rightarrow\quad x_1=-6$ in $g$: ~$y_1=-1\quad\Rightarrow\quad P\,(-6\mid-1)$,\\
			$\Rightarrow\quad x_2=1$ in $g$: ~$y_2=-4{,}5\quad\Rightarrow\quad Q\,(1\mid-4{,}5).$
	\item 	Das Ergebnis folgt aus: ~$C_n\left(x+3\,\middle|\,-0{,}5\,(x\;+3)^2\;-3\,(x\;+3)\;-1\right)$.
	\item 	Siehe Zeichnung!
	\item 	$\overrightarrow{BC}_n=\begin{pmatrix}x\;+7\\-0{,}5x^2\;-6\,x\;-12{,}5\end{pmatrix}\quad$ 
			und
			$\quad\overrightarrow{BA}_n=\begin{pmatrix}x\;+4\\-0{,}5\,x^2\;-3\,x\;+1\end{pmatrix}$\\
			$A(x)=\D\frac{1}{2}\,\begin{vmatrix}x\;+7	&x\;+4\\-0{,}5\,x^2\;-6\,x\;-12{,}5 &-0{,}5\,x^2\;-3\,x\;+1\end{vmatrix}\,cm^2$\\
			$\phantom{A(x)}=(0{,}75\,x^2\;+8{,}25\,x\;+28{,}5)\,cm^2$
	\item 	$x=-5{,}5$ liefert $A_{min}=5{,}8125\,cm^2$.   
	\item 	Die Seite~$\overline{A_3C}_3$ muss zur Geraden~$g$ parallel sein:\\
			$\overrightarrow{A_nC}_n=\begin{pmatrix}x\;+3\;-x\\-0{,}5\,x^2\;-6\,x\;-14{,}5\;-(-0{,}5\,x^2\;-3\,x\;-1)\end{pmatrix}
			=\begin{pmatrix}3\\-3\,x\;-13{,}5\end{pmatrix}$\\
			$\Rightarrow\quad\frac{-3\,x\;-13{,}5}{3}=m_g=-0{,}5\quad\iff\quad x=-4$.
	\end{enumerate}
}