%
%
\ANG
{
	Gegeben sind die Parabel~$p$ und die Gerade~$g$ durch ihre Gleichungen:\\
	$p\mathord{:}~~y=-0{,}25\,x^2\;+x\;+7$ ~und~ $g\mathord{:}~~y=-0{,}5\,x\;+3$ ~mit~ $x, y\in\RR$.\\
	Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh025mn10_a.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte~$P$ und $Q$ von der Parabel~$p$\\
			mit der Geraden~$g$. Der Punkt~$P$ soll dabei nicht im IV.~Quadranten liegen.
	\item 	Die Punkte~$A_n(x\mid-0{,}25\,x^2\;+x\;+7)$ auf der Parabel $p$ und die Punkte~$B_n$ auf der Geraden~$g$
			besitzen den gleichen Abszissenwert und sind Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken~$A_nB_nC_n$ mit
			den Basen~$\overline{A_nB}_n$. Die H"ohen auf diese Basen sind stets $4\,cm$ lang.
			Zeichne f"ur $x=-1$ das Dreieck~$A_1B_1C_1$ ins Koordinaten\-system ein!
	\item 	Zeichne mit $C_2(7{,}5\mid y_{C_2}$) das Dreieck~$A_2B_2C_2$ ein!\\
			Berechne die Koordinaten des Punktes~$A_2$\,!
	\item 	Zeige durch Rechnung, dass in Abh"angigkeit von~$x$ f"ur den Fl"acheninhalt~$A(x)$\\
			dieser Dreiecke~$A_nB_nC_n$ gilt: ~$A(x)=(-0{,}5\,x^2\;+3\,x\;+8)\,cm^2$\,!
	\item 	Das Dreieck~$A_2BC_2$ weist den gr"o"sten Fl"acheninhalt auf.\\
			Berechne dieses Maximum und die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Gibt es ein Dreieck~$A_3B_3C_3$, dessen Eckpunkt~$C_3$ auf der $y$-Achse liegt?\\
			Begr"unde deine Antwort!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	Der Schnittpunkt im IV.~Quadranten muss $Q$ sein.\\
			1.\,M"oglichkeit:\\
			$-0{,}25\,x^2\;+x\;+7=-0{,}5\,x\;+3\quad\iff\quad-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4=0$\\
			$\Rightarrow\quad\sqrt{D^*}=\sqrt{6{,}25^{\phantom{|}}}=2{,}5\quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=\frac{-1{,}5\,\pm\,2{,}5}{-0{,}5}$\\
			$\Rightarrow\quad x_1=-2$ in $g$: ~$y_1=4\quad\Rightarrow\quad P\,(-2\mid4),$\\
			$\Rightarrow\quad x_2=8$ in $g$: ~$y_2=-1\quad\Rightarrow\quad Q\,(8\mid-1).$\\
            2. M"oglichkeit:\\
			Aus der schon vorhandenen Zeichnung kannst du ablesen: ~$P\,(-2\mid4)$~ und ~$Q\,(8\mid-1)$.\\
			Wenn du die Koordinaten dieser Punkte in die Gleichung der Parabel {\bf und} die der Geraden einsetzt,
			ergeben sich insgesamt vier wahre Aussagen. Das bedeutet, dass die Punkte~$P$ und $Q$ {\bf sowohl}
			auf der Geraden~$g$ {\bf als auch} auf der Parabel~$p$ liegen.\\
			Weil aber eine Gerade eine Parabel h"ochstens in zwei Punkten schneiden kann,
			sind~$P$ und $Q$ die gesuchten Schnittpunkte.
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh025mn10_l.1}
			\end{center}
	\item 	Siehe Zeichnung!\\
			$x_{C_2}=7{,}5\quad\Rightarrow\quad x=7{,}5\;-4=3{,}5$\\
			$\Rightarrow\quad y=-0{,}25\,(3{,}5)^2\;+(3{,}5)\;+7=7{,}4375\quad\Rightarrow\quad A_2(3{,}5\mid7{,}4375)$.
	\item 	$y_{A_n}\;-y_{B_n}=-0{,}25\,x^2\;+x\;+7\;-(-0{,}5\,x\;+3)=-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4$\\
			$\Rightarrow\quad A(x)=0{,}5\cdot(-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4)\,cm\cdot4\,cm=(-0{,}5\,x^2\;+3\,x\;+8)\,cm^2.$
	\item 	$x=3$ liefert $A_{max}=12{,}5\,cm^2$.   
	\item 	Wenn der Punkt~$C_3$ auf der $y$-Achse liegen soll, dann m"ussen die Punkte~$A_3$ und $B_3$ auf einer
			Paral\-lelen zur $y$-Achse im Abstand von $4\,cm$ liegen, die durch den II. und III.~Quadranten verl"auft.
			Der Abstand des Punktes~$P$ von der $y$-Achse betr"agt $2\,cm$. Demnach k"ame der Punkt~$B_3$ auf der
			Geraden~$g$ "uber dem Punkt~$A_3$ auf der Parabel~$p$ zu liegen. Dadurch h"atte das Dreieck~$A_3B_3C_3$
			den falschen Drehsinn, weil der Punkt~$C_3$ ja wie alle Punkte~$C_n$ rechts von der Basis liegen m"usste;
			d.\,h. es gibt unter allen Dreiecken~$A_nB_nC_n$ kein solches Dreieck~$A_3B_3C_3$.
	\end{enumerate}
}