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\ANG
{
	Die Parabel~$p$ besitzt den Scheitel~$S\,(3\mid1)$ und verl"auft durch den Punkt~$P\,(5\mid3)$.
	Au"serdem ist die Gerade~$g\mathord{:}~~y=x\;-2{,}5$ gegeben. Die zugeh"origen Funktionsgraphen
	sind in Ausschnitten dargestellt.\\
	Punkte~$A_n(x\mid x\;-2{,}5)$ auf der Geraden~$g$ und Punkte~$C_n$ auf der Parabel~$p$
	besitzen jeweils dieselbe Abszisse~$x$ und sind Eck\-punkte von Rauten~$A_nB_nC_nD_n$,
	deren Diagonalen~$\overline{B_nD}_n$ stets $4\,cm$ lang sind.
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh026mn10_a.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeige, dass die Parabel~$p$ die Gleichung ~$y=0{,}5\,x^2\;-3\,x\;+5{,}5$~ besitzt!
	\item 	Begr"unde rechnerisch, dass die Gerade $g$ Tangente an die Parabel~$p$ ist!
	\item 	Zeichne f"ur ~$x=-1$~ die Raute~$A_1B_1C_1D_1$ und mit $D_2(4\mid y_{D_2})$\\
			die Raute~$A_2B_2C_2D_2$ in das Koordinatensystem ein!
	\item 	Ermittle mit den L"angen~$|\overline{A_nC}_n|(x)=(0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+8)\,cm$\\
			alle $x$-Belegungen, f"ur die solche Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ existieren!
	\item 	Die Rauten~$A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ sind Quadrate.\\
			Berechne ihre $x$-Belegungen auf zwei Dezimale genau!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	$S\,(3\mid1)$ und $P\,(5\mid 3)$ in die Scheitelform:\\
			$p\mathord{:}~~3=a\cdot(5\;-3)^2\;+1\quad\Rightarrow\quad a=0{,}5$\\
			$p\mathord{:}~~y=0{,}5\cdot(x\;-3)^2\;+1=\ldots=0{,}5\,x^2\;-3\,x\;+5{,}5$.
	\item 	$p\,(x)=g\,(x)\quad\iff\quad 0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+8=0\quad\Rightarrow\quad D^*=0$.\\
			Also ist die Gerade~$g$ eine Tangente an die Parabel~$p$.
	\item 	$x_{D_2}=4~\Rightarrow~x_{B_2}=4\;+4=8~\Rightarrow~x_{A_2}=x_{C_2}=0{,}5\cdot(4\;+8)=6$.\\
			Das ergibt dann das folgende Bild:
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh026mn10_l.1}
			\end{center}
	\item 	$|\overline{A_nC}_n|(x)=(0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+8)\,cm=\ldots=0{,}5\,(x\;-4)^2\,cm$.\\
            F"ur $x=4$ gilt $|\overline{A_nC}_n|(4)=0\,cm$;\\
			d.\,h. die betreffende "`Raute"' w"urde zur Strecke entarten.\\
            Der Drehsinn s"amtlicher Rauten bleibt immer richtig, weil die Punkte~$C_n$\\
			auf der Parabel~$p$ stets "`"uber"' der Geraden~$g$ mit ihren Punkten~$A_n$ liegen.\\
            Also gibt es Rauten~$A_nB_nC_nD_n$ f"ur $x\in\RR\setminus\{4\}$.
	\item	Eine Raute wird zum Quadrat, wenn ihre Diagonalen gleich lang sind:\\
			$0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+8=4\quad\iff\quad 0{,}5\,x^2\;-4\,x\;+4=0$\\
			$\quad\Rightarrow\quad D^*=8\quad\Rightarrow\quad x_3\approx1{,}17\quad$ ~und~ $\quad x_4\approx6{,}83$.
	\end{enumerate}
}              