%
%
\ANG
{
	Die Parabel~$p\mathord{:}~~y=a\,x^2\;-x\;-3$~ verl"auft durch den Punkt~$P(-3\mid2{,}25)$.\\
	Au"serdem ist eine Gerade~$g$ durch die Gleichung~$y=0{,}5\,x\;+1$ gegeben.\\
	Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
	\begin{center}
		\includegraphics{09eh029mn10_a.1}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item	Berechne von der Parabel~$p$ die Koordinaten des Scheitels~$S$ und\\
			untersuche, ob die Gerade~$h\mathord{:}~~y=0{,}5\,x\;-5{,}26$~ die Parabel~$p$ ber"uhrt!\\
			(Teilergebnis: ~$a=0{,}25$)
	\item 	Punkte~$B_n(x\mid0{,}25\,x^2\;-x\;-3)$ auf der Parabel~$p$ und Punkte~$C_n(x\mid0{,}5\,x\;+1)$
			auf der Geraden~$g$ besitzten den gleichen Abszissenwert~$x$ und erzeugen mit den Punkten~$A_n$
			f"ur ~$x\in\,]{-2};\;8[\,_{\RR}$~ rechtwinklige Dreiecke~$A_nB_nC_n$ mit den Hypotenusen $\overline{A_nC}_n$.
			Dabei sind die Katheten~$\overline{A_nB}_n$ stets $4\,cm$ lang.\\
			Zeichne f"ur ~$x=-1$~ und ~$x=5$~ die Dreiecke~$A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ ein!
	\item 	Zeige durch Rechnung, dass f"ur die L"angen der Katheten~$\overline{B_nC}_n$\\
			in Abh"angigkeit von~$x$ gilt: ~$|\overline{B_nC}_n|(x)=(-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4)\,cm$\,!
	\item 	Unter allen Dreiecken~$A_nB_nC_n$ gibt es eines mit maximalem Fl"acheninhalt.\\
			Berechne dieses Maximum und die zugeh"orige $x$-Belegung!
	\item 	Innenwinkel der Dreiecke~$A_3B_3C_3$ und $A_4B_4C_4$ betragen $45\,^\circ$.\\
			Berechne die zugeh"origen Belegungen von $x$\,!
	\item 	Untersuche rechnerisch, ob es Dreiecke~$A_nB_nC_n$ gibt,\\
			deren Hypotenuse auf der Geraden~$g$ liegt!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	$P$ in $p$: ~$2{,}25=a\cdot(-3)^2\;-(-3)\;-3\quad\iff\quad a=0{,}25$\\
			$\Rightarrow\EPUNKT{S}{-\frac{-1}{2\cdot0{,}25}}{-3\;-\frac{(-1)^2}{4\cdot0{,}25}}=(2\mid-4)$.\\
			$p\,(x)\;-g\,(x)=0{,}25\,x^2\;-1{,}5\,x\;+2{,}26=0\quad\Rightarrow\quad D^*=-0{,}01<0$\,!\\
			Die Gerade~$g$ passiert die Parabel~$p$.
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{09eh029mn10_l.1}
			\end{center}
	\item 	$|\overline{B_nC}_n|(x)/cm=y_{C_n}\;-y_{B_n}=g\,(x)\;-p\,(x)=-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4$.
	\item	$A(x)/cm^2=\frac{1}{2}\cdot4\cdot(-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4)=-0{,}5\,x^2\;+3\,x\;+8$\\
			liefert: ~$A_{max}=12{,}5\,cm^2$~ f"ur~ $x=3$
	\item 	Die beiden Dreiecke~$A_3B_3C_3$ und $A_4B_4C_4$ m"ussen gleichschenklig sein:\\
			$|\overline{B_nC}_n|(x)=4\,cm~\iff~-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x=0~~\Rightarrow~~x=0\quad\vee\quad x=6$.
	\item 	Solche Dreiecke k"onnen als Steigungsdreiecke zu den Hypotenusen~$\overline{A_nC}_n$ aufgefasst werden.
			Wenn eine dieser Hypotenusen auf der Geraden~$g$ liegen soll, dann m"ussen beide Steigungen "ubereinstimmen:
			~$\frac{-0{,}25\,x^2\;+1{,}5\,x\;+4}{4}=\frac{1}{2}~\iff~-0{,}5\,x^2\;+3\,x\;+4=0$\\
			$\Rightarrow~~D^*=17>0$. Also gibt es zwei solche Dreiecke.
	\end{enumerate}
}              