%
%
\ANG
{
	\mbox{}\begin{center}
		\includegraphics[width=4cm]{09eh053mn_a}
    \end{center}
	Familie Taerkot hat auf ihrem umz"aunten Grundst"uck einen $140\,m^2$ gro"sen Garten angelegt,
	der zus"atzlich im Grundst"uck noch auf zwei Seiten mit einem $25{,}5\,m$ langen Maschen\-draht\-zaun
	abgegrenzt wurde.
	\begin{enumerate}
	\item 	Berechne die L"ange und die Breite der rechteckigen Gartenfl"ache!
	\item 	H"atte Familie Taerkot mit $25{,}5\,m$ Maschendraht auf die in der Abbildung\\
			dargestellte Weise eine noch gr"o"sere Gartenfl"ache abgrenzen k"onnen?
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics[width=4cm]{09eh053mn_l1}
			\end{center}
			\vspace{0.3cm}
			Es gilt:
			\begin{tabular}{c c c l c l}
						&$x\;+y$  	&=	&$25{,}5$	&(1) & $\quad\iff\quad y=25{,}5\;-x\quad(1)'$\\
			$\wedge$ 	&$x\cdot y$ &=	&$140$		&(2) &\\
			\hline
			\end{tabular}
			\vspace{0.2cm}\\
			$(1)'$ in $(2)$: ~$x\cdot(25{,}5\;-x)=140\quad\iff\quad -x^2\;+25{,}5\,x\;-140=0$\\
			$\Rightarrow\quad L=\{17{,}5;\;8\}$. Wegen $(1)'$ folgt: ~$y=8\;\vee\;y=17{,}5$.\\
			Das Gartengrundst"uck ist $17{,}5\,m$ lang und $8\,m$ breit (oder umgekehrt).
	\item	F"ur den Fl"acheninhalt~$A$ gilt: $A=x\,m\cdot y\,m$.\\
			Mit $(1)'$ folgt ~$A(x)=x\,(25{,}5\;-x)\,m^2\quad\iff\quad A(x)=(-x^2\;+25{,}5\,x)\,m^2$.\\
			Der Extremwert muss wegen des negativen Vorzeichens von $x^2$ ein Maximum sein. Die Berechnung erfolgt
			z.\,B. so, als ob du die Scheitelkoordinaten der zugeh"origen (nach unten ge"offneten) Parabel ermittelst:
			~$a=-1;\quad b=25{,}5;\quad c=0$\\
			$\Rightarrow~~x_S=-\frac{25{,}5}{-2}=12{,}75$ ~und~ $y_S=0\;-\frac{25{,}5^2}{-4}=162{,}5625$ (Maximum).\\
			Mit dem $25{,}5\,m$ langen Maschendraht h"atte Familie Taerkot auf diese Weise
			sogar etwas mehr als $162\,m^2$ einz"aunen k"onnen.\\
			Die L"ange $x=12{,}75\,m$ liefert mit $(1)'$ die Breite  $y=(25{,}5\;-12{,}75)\,m=12{,}75\,m$.
			Das bedeutet, dass der fl"achengr"o"ste Garten eine quadratische Form h"atte.
	\end{enumerate}
}