%
%
\ANG
{
	Gegeben ist f"ur $a\in\RR\,\backslash\,\{0\}$ eine Parabelschar~$p\,(a)$\\
	mit der Gleichung:~~$y=a\,x^2\,+x\;-a$.
	\begin{enumerate}
	\item	Berechne die Scheitelkoordinaten in Abh"angigkeit von $a$\,!\\
			Ergebnis: ~$S\left(-\frac{1}{2a}\,\middle|\,-a\;-\frac{1}{4a}\right)$
	\item	Begr"unde, dass es in der Schar keine Parabel gibt,\\
			deren Scheitel auf der $y$-Achse liegt!
	\item 	Begr"unde, dass es in der Schar keine Parabel gibt,\\
			deren Scheitel im II.~Quadranten liegt.
	\item	Tabellarisiere die Scheitelkoordinaten f"ur $a\in\{-1;\;-0{,}5;\;0{,}5;\;1\}$\,!\\
			Zeichne die zugeh"origen Parabeln in ein Koordinatensystem!\\
			Platzbedarf: ~$-5\le x \le 5$~ und $~-4\le y \le 4$.
	\item 	Berechne die Tr"agergraphen-Gleichung aller Scheitelpunkte~$S(x_S\mid y_S)$\,!\\
			Ergebnis: ~$y_S=\frac{1}{2\,x_S}\;+\frac{x_S}{2}$
	\item 	Begr"unde: Zu jeder Parabel~$p$ der Schar mit dem Scheitel~$S(x_S\mid y_S)$ gibt es\\
			in der Schar eine kongruente Parabel~$p'$ mit dem Scheitel $S'(-x_s\mid -y_S)$\,!
	\item 	Zeige, dass jede Parabel der Schar die $x$-Achse in zwei Punkten schneidet!
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item 	Mit Hilfe einer Formelsammlung kannst du das Ergebnis sofort bestimmen.
	\item 	Es m"usste $x_S=-\frac{1}{2\,a}=0$ gelten. Ein Bruch hat aber nur dann den Wert~$0$, wenn der Z"ahler
			den Wert~$0$ besitzt. Das ist hier jedoch nicht der Fall. Also gibt es keine solche Parabel.
	\item 	L"age einer der Scheitelpunkte im II.~Quadranten, dann w"are sein Abszissenwert~$<0$.\\
			Wegen $x_S=-\frac{1}{2\,a}$ m"usste $a>0$ sein, woraus $y_S=-a\;-\frac{1}{4\,a}<0$ folgt.\\
			Dann liegt jedoch der Scheitel im III. und nicht im II.~Quadranten.
	\item 	\begin{tabular}[t]{c|| c | c | c | c}
				$a$ & $-1$ & $-0{,}5$ & $0{,}5$ & $1$\\
			\hline
				$S(x_S\mid y_S)$ & $(0{,}5\mid1{,}25)$ & $(1\mid1)$ & $(-1\mid-1)$ & $(-0{,}5\mid-1{,}25)$
			\end{tabular}
			\vspace{0.2cm}
			\begin{center}
				\includegraphics{09eh051mn_a.1}
			\end{center}
	\item 	\begin{tabular}[t]{c c c c c l}
               & $x_S$ & = &   $-\frac{1}{2\,a}$ & (1) & $\quad\iff\quad a=-\frac{1}{2\,x_S}\quad (1)'$\\
			$\wedge$ & $y_S$ & = & $-a-\frac{1}{4\,a}$ & (2) &\\
			\hline
			\end{tabular}
			\vspace{0.1cm}\\
			$(1)'$ in (2): ~$y_S=-\left(-\frac{1}{2\,x_S}\right)\;-\frac{1}{4\,\left(-\frac{1}{2\,x_S}\right)}=\frac{1}{2\,x_S}\;+\frac{x_S}{2}$\\
	\item 	Die Tabelle der Aufgabe~(d) l"asst vermuten, dass ein Vorzeichenwechsel des Parameters~$a$ eine
			Punktspiegelung des betreffenden Parabel\-scheitels am Koordinaten\-ursprung zur Folge hat. Die Parabel
			bleibt dabei deckungsgleich zur urspr"unglichen Parabel, wechselt aber ihre "Offnungsrichtung
			(siehe graphische Darstellung).\\
			Also: ~$a'=-a$~ und ~$x_{S'}=-\frac{1}{2\,a'}=-\frac{1}{-2\,a}=\frac{1}{2\,a}=-x_S$\\
			und ~$y_{S'}=-a'\;-\frac{1}{4\,a'}=-(-a)-\frac{1}{4\,(-a)}=-\left(-a\;-\frac{1}{4\,a}\right)=-y_S$
	\item 	Schnittpunkte mit der $x$-Achse verlangen $y=0$: ~$a\,x^2\;+x\;-a=0$.\\
			F"ur die Diskriminante~$D^*$ ergibt sich: ~$D^*=1^2\;-4\cdot a\cdot(-a)=1\;+4\,a^2$.\\
			$4\,a^2$ wird nie negativ. Daher bleibt ~$4\,a^2\;+1$~ stets positiv.\\
			Also hat die quadratische Gleichung~$a\,x^2\;+x\;-a=0$ immer zwei L"osungen.\\
			Damit schneidet jede Scharparabel die $x$-Achse zweimal.
	\end{enumerate}
}