%
\ANG{
In einem Lehrbuch steht zum Thema \GF{Gleichungssysteme} eine Aufgabe mit der Musterl"osung:\\
\GF{Es sind $a$ und $b$ nat"urliche Zahlen. Berechne $a$ und $b$ so, dass $a^2-b^2=15$ gilt.}
\begin{center}
{\sc Musterl"osung}\\
\vspace{2mm}
$a^2-b^2=15\quad\Leftrightarrow\quad(a-b)(a+b)=15$\,.\\
\end{center}
 Wegen $\TT_{15}=\{1;\,3;\,5;\,15\}$ und $a+b>a-b$ folgt\\

{\bf entweder:}\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 15 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 1  & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 16 & 
\end{array}
$
\\
$\quad\Rightarrow\quad a=8$ \quad z.B. in (2):\quad $b=7$\\
Probe: $8^2-7^2=64-49=15$\,, stimmt.\\

{\bf oder:}\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 5 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 3 & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 8 & 
\end{array}
$
\\
$\quad\Rightarrow\quad a=4$ \quad z.B. in (2):\quad $b=1$\\
Probe: $4^2-1^2=16-1=15$\,, stimmt.
\begin{center}
 $\quad\Rightarrow\quad \LL=\{(4\mid1);\,(8\mid7)\}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item L"ose die Aufgabe f"ur $a^2-b^2=77$ und mache die Probe.\,.
\item L"ose die Aufgabe f"ur $a^2-b^2=83$ und mache die Probe.\,.
\item L"ose die Aufgabe f"ur $a^2-b^2=38$ und mache die Probe.\,.
\item Edwin behauptet: \GF{Wenn der Wert der Differenz aus den Quadraten von $a$ und $b$ gerade ist, dann ist die L"osungsmeng leer.}\\
Begr"unde, dass Edwin nicht Recht hat.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item  Wegen $\TT_{77}=\{1;\,7;\,11;\,77\}$ folgt\\
{\bf entweder:}\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 11 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 7  & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 18 & 
\end{array}
$
\\
$\quad\Rightarrow\quad a=9$ \quad z.B. in (2):\quad $b=2$\\
Probe: $9^2-2^2=81-4=77$\,, stimmt.\\

{\bf oder:}\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 77 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 1  & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 78 & 
\end{array}
$
\\
$\quad\Rightarrow\quad a=39$ \quad z.B. in (2):\quad $b=38$\\
Probe: $39^2-38^2=1521-1444=77$\,, stimmt.
\begin{center}
 $\quad\Rightarrow\quad \LL=\{(9\mid2);\,(39\mid38)\}$
\end{center}
\item 
$83$ ist eine Primzahl. Wegen $\TT_{83}=\{1;\,83\}$ folgt\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 83 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 1  & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 84 & 
\end{array}
$
\\
$\quad\Rightarrow\quad a=42$ \quad z.B. in (2):\quad $b=41$\\
Probe: $42^2-41^2=1764-1681=83$\,, stimmt.
\item  Wegen $\TT_{38}=\{1;\,2;\,19;\,38\}$ folgt z.B.\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 19 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 2  & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 21 &\quad\Rightarrow\quad a\notin\NN\quad\Rightarrow\quad b\notin\NN\, 
\end{array}
$\\
Damit folgt:\quad$\quad\LL=\emptyset$\,.
\item 
Das folgende Gegenbeispiel zeigt, dass Edwin Unrecht hat:\\
$a^2-b^2=44$\,. Daraus wird z.B.:\\
$
\begin{array}{c r c c c r r}
             & a  & + & b & = & 22 & \quad(1)\\
\wedge       & a  & - & b & = & 2  & \quad(2) \\
\hline
(1)+(2):\,\, & 2a &   &   & = & 24 &
\end{array}
$\\
$\quad\Rightarrow\quad a=12$ und \quad $b=10$\,.\\
In der Tat ist $12^2-10^2=144-100=44$\,.\\

F"ur $a^2-b^2=2^n\cdot p$ mit $n\in\NN\backslash\{1\}$ und $p\in\PP$ ist die L"osungsmenge nie leer.
\end{enumerate}
}













