%
\ANG
{
Gegeben sind die folgenden Gleichungen mit $\GG=\RR$\,:\\
$$
\begin{array}{r c l}
-5x + 30 = 0 & \qquad(1)\\
&\\
\D\frac{x-6}{17,2}=0 & \qquad(2)\\
&\\
\D\frac{x-6}{x+3}=0 & \qquad(3)\\
&\\
\D\frac{x-6}{-3x+18}=0 & \qquad(4)\\
&\\
\D\frac{36-x^2}{x-6}=0 & \qquad(5)\\
&\\
\D\frac{0,5x^2-6x+18}{x+6}=0 & \qquad(6)\\
&\\
\D\frac{x^2-4x-12}{2x-6}=0 & \qquad(7)\\
&\\
(-1,1)^{17}\cdot(\sqrt{2x}+2\sqrt{3})\cdot17\D\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{2x}-\sqrt{12})=0 & \qquad(8)
\end{array}
$$
\begin{enumerate}
 \item Ermittle die L"osung der Gleichung (1).
 \item Untersuche, ob die Gleichungen (2) bis (8) die gleiche L"osungsmenge wie die Gleichung (1) besitzen.
Begr"unde jeweils deine Antwort.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $x=6$\,.
\item
Gleichung {\bf(2)}:\\
Da der Nenner stets von 0 verschieden ist, hat der Bruch den Wert 0, wenn der Z"ahler den Wert 0 hat. Das ist wieder
wie in (1) f"ur $x=6$ der Fall.\\

Gleichung {\bf(3)}:\\
F"ur die Definitionsmenge $\DD$ gilt: $\DD=\RR\backslash\{-3\}$\,. Der Z"ahler verschwindet f"ur $x=6$\,.
Also ist die L"osung wieder die gleiche wie in (1).\\

Gleichung {\bf(4)}:\\
Der Nennner wird 0, wenn $x=6$ gilt. Also folgt $\DD=\RR\backslash\{6\}$\,.\\
Der Z"ahler hat nur eine einzige Nullstelle, n"amlich $x=6\notin\DD$. Die L"osungsmenge ist im Gegensatz zu (1) {\bf
leer}\,.\\

Gleichung {\bf(5)}:\\
Wieder gilt $\DD=\RR\backslash\{6\}$\,.\\
$36-x^2=(6-x)(6+x)=0\quad\Leftrightarrow\quad x=6\notin\DD\,\vee\, x=-6\in\DD$\,.\\
Also ist $x=-6$ die einzige L"osung. Sie stimmt nicht mit der L"osung von (1) "uberein.\\


Gleichung {\bf(6)}:\\
$\DD=\RR\backslash\{-6\}$\,.\\
$0,5x^2-6x+18=0,5(x-6)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=6\in\DD$\,.\\
Die Gleichung (6) besitzt die gleiche L"osung wie die Gleichung (1).\\

Gleichung {\bf(7)}:\\
$\DD=\RR\backslash\{3\}$\,.\\
$=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-2\in\DD\,\vee\, x=6\in\DD$\,.\\
Eine der L"osungen der Gleichung (7) ist zwar mit der der Gleichung (1) identisch, aber die Gleichung (7) besitzt
noch eine zweite L"osung, die in (1) nicht auftaucht. (1) und (7) haben also {\bf verschiedene  L"osungsmengen}.\\

Gleichung {\bf(8)}:\\
$(-1,1)^{17}\cdot(\sqrt{2x}+2\sqrt{3})\cdot17\D\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{2x}-\sqrt{12})=\\
(-1,1)^{17}\cdot17\D\frac{1}{3}\cdot\left[(\sqrt{2x})^2-(\sqrt{12}) \right]=
(-1,1)^{17}\cdot17\D\frac{1}{3}\cdot\left[2x-12\right]=0\,.\\
\quad\Leftrightarrow\quad x=6\in\DD$\,.\\
Also ist die L"osung wieder die gleiche wie in (1).

\end{enumerate}
}
