% 9. Kl.: Flächenberechnungebener Vielecke
% +09jk0021.eps
\ANG{%\mbox{}
Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. Zus"atzlich ist noch das
Viereck $PQRS$ eingezeichnet.
      \begin{center}
      \EPSBASIS{09jk0021}{8cm}{}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=5$, $b=8$ und $x=1$.
\item Begr"unde: Das Viereck $PQRS$ ist ein Parallelogramm. 
\item Zeige: Die Berechnung des Fl"acheninhalts $A$ der Vierecke $PQRS$ in
      Abh"angigkeit von $a$, $b$ und $x$ ergibt:
      $$A(x) = \frac{ab-0,5x^2}{2}\,\,\mathrm{cm^2 .}$$
\item Begr"unde: F"ur alle $x\in \RR^+$ gilt: $A(PQRS) < 0,5\cdot A(ABCD)$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\mbox{} 
\begin{enumerate}
\item --
\item $\Delta RQC \cong \Delta APS\quad \wedge \quad\Delta SRD \cong 
     \Delta PBQ $.\\
      Damit sind je zwei gegen"uber liegende Seiten des Vierecks $PQRS$ gleich
      lang. Also handelt es sich um ein Parallelogramm.
\item Der gesuchte Fl"acheninhalt ergibt sich z.B. dadurch, dass man an den
      Eckpunkten des Rechtecks $ABCD$ die vier jeweils paarweise kongruenten
      rechtwinkligen Dreiecke abschneidet.\\
      Es gilt: $\overline{RD}=0,5(a-x)\,\mathrm{cm}=\overline{PB} \quad \wedge
      \quad \overline{SD}=0,5(b-x)\,\mathrm{cm}=\overline{BQ}$.\\
      \begin{tabular}{l c l}
      $A(SRD)+A(PBQ)$ & = & $2\cdot [0,5\cdot 0,5(a-x)\cdot
      0,5(b-x)]\,\mathrm{cm^2}$\\
                    & = & $0,25(a-x)(b-x)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{tabular}\\
      
      Weiter gilt: $\overline{RC}=0,5(b+x)\,\mathrm{cm}=\overline{AP}\quad \wedge
      \quad \overline{CQ}=0,5(a+x)\,\mathrm{cm}=\overline{AS}$.\\
      \begin{tabular}{l c l}
      $A(RQC)+A(APS)$ & = & $2\cdot [0,5\cdot 0,5(b+x)\cdot
      0,5(a+x)]\,\mathrm{cm^2}$\\
                    & = & $0,25(a+x)(b+x)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{tabular}\\
      
      Im Folgenden wird nur mit Ma"szahlen gerechnet.\\
      
       \begin{tabular}{l c l}
      $A(PQRS)$ & = & $ab - [\,0,25(a-x)(b-x) + 0,25(a+x)(b+x)]$\\
                    & = & $ab - 0,25[ab-ax-bx+x^2+ab+ax+bx+x^2]$\\
		    & = & $ab - 0,5ab - 0,5x^2$\\
	$A(PQRS)$ & = & $0,5(ab-x^2)$, was zu zeigen war.	    
      \end{tabular}
\item F"ur die Ma"szahlen gilt:\\
      $$\frac{ab-0,5x^2}{2}=0,5ab-0,25x^2$$\\
      Wegen $0,25x^2>0$ (f"ur alle $x\in\RR^+$) folgt:
      $$\frac{ab-0,5x^2}{2}=<\frac{ab}{2}=0,5ab=0,5\cdot A(ABCD)\,\mathrm{.}$$
\end{enumerate}
}

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