
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh047_a.1}
      \end{center}
       Das Dreieck $ABC$ ist gleichseitig mit der Seitenl"ange $a\,\mathrm{cm}$. Die Punkte
       $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ und $K$ dritteln jeweils die Dreiecksseite, auf der sie liegen.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=7,5$.
\item Begr"unde: Die Punkte $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ und $K$ sind Scheitel von rechten Winkeln.
      Zeichne dazu den Mittelpunkt $M$ der Basis $[AB]$ sowie die Gerade $CM$ ein und vergleiche 
      die Teilverh"altnisse auf den Strecken $[AM]$ und $[AC]$.
\item Berechne das Verh"altnis $k_1$ der Fl"acheninhalte des sechszackigen Sterns und des
      Dreiecks $ABC$.
      
      \centerline{[ Ergebnis: $k_1=\D\frac{4}{9}$ ]}
\item Begr"unde: Das Verh"altnis $k_2$ der Fl"acheninhalte des inneren Sechsecks $P_1\ldots P_6$
      und des Dreiecks $ABC$ ist halb so gro"s wie $k_1$. Zeichne dazu im Sechseck geeignete
      Hilfslinien ein.     
\item \begin{itemize}
      \item Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck, das denselben Fl"acheninhalt aufweist wie
            der sechszackige Stern.
      \item Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck, das denselben Fl"acheninhalt aufweist wie
            das innere Sechseck $P_1\ldots P_6$.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item\mbox{}
                  \begin{center}
                  \includegraphics{09eh047_l1.1}
                  \end{center}
		  
\item  Die Gerade $[CM]$ ist eine Symmetrieachse des Dreiecks $ABC$, die auf der Basis $[AB]$
       senkrecht steht.\\
       Nun gilt $\overline{AM}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}$ und
       $\overline{DM}=\D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{1}{3}\cdot\overline{AB}=
       \D\frac{1}{2}\cdot\overline{AD}$, weil ja z.B. der Punkt $D$ die Strecke
       $[AB]$ drittelt.\\
       Also teilt der Punkt $D$ die Strecke $[AM]$ im Verh"altnis $2:1$. Dasselbe
       Streckenverh"altnis erzeugt aber auch der Punkt $H$ auf der Strecke $[AC]$.
       Also sind die beiden Dreiecke $AMC$ und $ADH$ zueinander "ahnlich.\\
       $\Rightarrow\quad [DH]\,\|\,[MC]\quad\Rightarrow\quad \sphericalangle HDA = 90^\circ$.\\
       Aus Symmetriegr"unden sind die Punkte $E$, $F$, $G$, $H$ und $K$ ebenfalls Scheitel 
       von rechten Winkeln.
\item  Wir rechnen meist ohne die Einheiten \GF{$\mathrm{cm}$} bzw. \GF{$\mathrm{cm^2}}$.\\
       Das Dreieck $DBF$ ist rechtwinklig: $\overline{DF}\,^2=\left(\D\frac{2}{3}\cdot a\right)^2-
       \left(\D\frac{1}{3}\cdot a\right)^2=\D\frac{1}{3}\cdot a^2$.\\
       Die Dreiecke $DBF$, $HFC$ und $ADH$ sind kongruent. $\Rightarrow\,
       \overline{DF}=\overline{FH}=\overline{HD}$.\\
       Die Dreiecke $EBG$, $KGC$ und $AEK$ sind kongruent. $\Rightarrow\,
       \overline{EG}=\overline{GK}=\overline{KE}$.\\
       Also sind die beiden Dreiecke $DFH$ und $EGK$ gleichseitig. Die sechs kleinen Dreiecke
       "uber den Sechsecksseiten $\overline{P_1P_2} \ldots \overline{P_6P_1}$ sind ebenfalls
       gleichseitig und kongruent. Das Sechseck $P_1\ldots P_6$ ist damit regelm"a"sig.\\
       
       $A_{\Delta DFH}=\D\frac{1}{4}\cdot\overline{DF}\,^2\cdot\sqrt 3=\D\frac{1}{4}\cdot
       \D\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot\sqrt 3=\D\frac{1}{12}\cdot a^2\cdot\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}$.\\
       
       Weil z.B. $\overline{P_1P_2}=\D\frac{1}{3}\cdot\overline{DF}$ gilt, folgt:\\
       
       $A_{\Delta EP_2P_1}=\left(\D\frac{1}{3}\right)^2\cdot A_{\Delta DFH}=\D\frac{1}{9}\cdot
       \D\frac{1}{12}\cdot a^2\cdot\sqrt 3=\D\frac{1}{108}\cdot a^2\cdot\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}$.\\
       
       Der Stern besteht z.B. aus den Dreieck $DFH$, an das drei kleine Dreiecke vom Typ $EP_2P_1$
       angef"ugt worden sind:\\
       
       $A_{\mathrm{Stern}}=\left(\D\frac{1}{12}\cdot a^2\cdot\sqrt 3\right)+3\cdot
       \left(\D\frac{1}{108}\cdot a^2\cdot\sqrt 3\right)=
       \D\frac{1}{9}\cdot a^2\cdot\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}$\\
       
       $k_1=\D\frac{A_{\mathrm{Stern}}}{A_{\Delta ABC}}=\left(\D\frac{1}{9}\cdot a^2\cdot\sqrt 3
       \right):
       \left(\D\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot\sqrt 3\right)=\D\frac{4}{9}$
\item  Die gesuchten Hilfslinen sind die Diagonalen des Sechsecks. Durch sie wird dieses Sechseck
       in sechs kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegt.\\
       Wenn Du diese sechs kongruenten gleichseitigen Dreieck nach au"sen klappst, hast du den
       Stern erzeugt. Also besteht der Stern insgesamt aus 12 solcher Dreiecke. Damit ist der
       Fl"acheninhalt des regelm"a"sigen Sechsecks $P_1\ldots P_6$ im Inneren halb so gro"s wie
       der des Sterns:
       \begin{center}
             $k_2=0,5\cdot k_1=\D\frac{2}{9}$.
       \end{center}       
       {\bf Anmerkung:} Eine Begr"undung muss also nicht unbedingt rechnerisch erfolgen. Trotzdem
       kannst du auch wieder das Verh"altnis als Bruch von Fl"acheninhalten herleiten. Das ist
       aber umst"andlicher.
\item \mbox{} 
	          \begin{center}
                  \includegraphics{09eh047_l2.1}
                  \end{center}
       \begin{itemize}
       \item F"ur das gesuchte Dreieck \GF{$\Delta^*$} mit der Seitenl"ange $a^*\,\mathrm{cm}$
        gilt:\\
       
             $A_{\Delta^*}=A_{\mathrm{Stern}}=\D\frac{4}{9}\cdot A_{\Delta ABC}=
	     \left(\D\frac{2}{3}\right)^2\cdot A_{\Delta ABC}$\\
	     
	     $\Rightarrow\quad a^*=\D\frac{2}{3}\cdot a$.\\
	     
	     Errichte also z.B. unter der Strecke $[DB]$ das gesuchte Dreieck $DQB$ mit der
	     Seitenl"ange $\overline{DB}=a^*$. (Siehe Zeichnung oben.)\\
       \item F"ur das gesuchte Dreieck \GF{$\Delta^{**}$} mit der Seitenl"ange $a^{**}
             \,\mathrm{cm}$ gilt:\\
	     
             $A_{\Delta^{**}}=A_{\mathrm{Sechseck}}=\D\frac{2}{9}\cdot A_{\Delta ABC}=
	     \left(\D\frac{\sqrt 2}{3}\right)^2\cdot A_{\Delta ABC}$\\
	     
	     $\Rightarrow\quad a^{**}=\D\frac{\sqrt 2}{3}\cdot a=\left(\D\frac{1}{3}
	     \cdot a\right)\sqrt 2$.\\
	     
	     Der Term $\left(\D\frac{1}{3}\cdot a\right)\sqrt 2$ l"asst sich als Diagonalenl"ange
	     eine Quadrates mit der Seitenl"ange $\D\frac{1}{3}\cdot a$ deuten.\\
	     
	     In der Zeichnung oben ist das Dreieck $AA^{**}D$ ein halbes Quadrat mit der
	     Seitenl"ange $\overline{AD}=\frac{1}{3}\cdot a$. Damit hat die Diagonale
	     $[AA^{**}]$ die L"ange $(\frac{1}{3}\cdot a)\sqrt 2\,\mathrm{cm}=
	     a^{**}\,\mathrm{cm}$. Also ist das Dreieck $APA^{**}$ das gesuchte.
       \end{itemize}
     Das dunkel get"onte gleichseitige Dreieck $DQB$ hat den doppelten Fl"acheninhalt wie das hell
     get"onte Dreieck $APA^{**}$.
\end{enumerate}
}

