%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh070_a1.1}
      \end{center}
"Uber der Hypotenuse $[AC]$ des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ liegt das Viereck
$ACDF$, das sich aus f"unf gleichseitigen Dreiecken mit der jeweiligen Seitenl"ange $a\,\mathrm{cm}$
zusammensetzt.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=3$.
\item Vergleiche den Fl"acheninhalt des Vierecks $ACDF$ mit dem des Dreiecks $ABC$.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Klar.
\item Bei dem Viereck $ACDF$ handelt es sich um ein achsensymmetrisches Trapez. Dessen
      Fl"achenterm k"onntest du zwar ohne Weiteres aufstellen, aber die Summe der 
      Fl"acheninhalte der f"unf gleichseitigen Dreiecke ist bequemer:\\
      
      $A_{ACDF}=5\cdot\D\frac{a^2}{4}\cdot\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}
      =\D\frac{a^2}{4}\cdot 5\,\sqrt 3\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      Das Dreieck $ABC$ ist ein halbes Quadat mit der Diagonalenl"ange
      $\overline{AC}= 3a\,\mathrm{cm}$:\\
                 
      $A_{ABC}=\D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{1}{2}\cdot (3a)^2\,\mathrm{cm^2}
      =\D\frac{a^2}{4}\cdot 9\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      Der Faktor $\D\frac{a^2}{4}$ taucht in beiden Fl"achentermen auf.
      
      Also musst du nur noch den Rest vergleichen, n"amlich $5\,\sqrt 3$ mit $9$:\\
      $5\,\sqrt 3<8,67 <9$. Also ist der Fl"acheninhalt des Trapezes $ACDF$ kleiner als der des
      Dreiecks $ABC$. (Das Trapez ist jedoch nur um knapp $4\%$ kleiner als das Dreieck.)
\end{enumerate}
}

