%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09jo001_01.1} \includegraphics{09jo001_02.1}
      \end{center}
Im Jahre 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand LINDEMANN, dass die Konstruktion einer Strecke mit
der L"ange $\pi\,\mathrm{LE}$ nicht m"oglich ist, wenn man nur Zirkel und Lineal verwendet.\\
Die Konstruktion einer solchen Streckenl"ange kann also mit Zirkel und Lineal nur n"aherungsweise
erfolgen:\\
Die Streckenl"angen $\overline{BC}$ in der Figur 1 und $\overline{CE}$ in der Figur 2 stellen zwei
Ergebnisse von N"aherungskonstruktionen einer Strecke mit der Ma"szahl $\pi\,\mathrm{LE}$ dar, wobei aus
Gr"unden der "Ubersichtlichkeit die Konstruktion rechter Winkel mit Zirkel und Lineal weggelassen worden
ist.
\begin{enumerate}
 \item 
      \begin{itemize}
	    \item Berechne den N"aherungswert f"ur $\pi$ in der Figur 1.
	    \item Berechne die prozentuale Abweichung dieses N"aherungswertes vom Taschenrechnerwert f"ur
	          $\pi$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
      \end{itemize}
\item
      \begin{itemize}
	    \item Berechne die Streckenl"ange $\overline{CE}$ in der Figur 2.
	    \item Vergleiche die beiden N"aherungen f"ur $\pi$ in der Figur 1 und in der Figur 2.
	    \item ARCHIMEDES benutzte f"ur $\pi$ den Wert $\frac{22}{7}$. Vergleiche diesen Wert mit $\pi$
	    auf deinem Taschenrechner und mit dem Wert aus der Figur 2.
      \end{itemize}
\item Laut einem Tabellenwerk ist der "Aquatorradius $r$ der Erde $6378,388\,\mathrm{km}$
      lang. Beachte f"ur die L"osung der folgenden Aufgaben, dass immer nur drei Nachkommastellen
      verwendet werden d"urfen, weil der Erdradius auch auf drei Nachkommastellen angegeben
      ist (warum eigentlich?).
      \begin{itemize} 
	    \item Berechne die "Aquatorl"ange $l_1$ mit Hilfe des N"aherungswertes $\overline{CE}$.
	    \item Berechne die "Aquatorl"ange $l_2$ mit Hilfe von $\pi$ auf deinem Taschenrechner.
	    \item Wie gro"s ist die Differenz dieser beiden Ergebnisse?
	    \item F"ur wie schwerwiegend h"altst du diesen Unterschied? Begr"unde.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{

\begin{enumerate}
 \item 
      \begin{itemize}
	    \item Figur 1: $\pi\approx\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3,162\,227\,766\ldots$\\
	    \item Taschenrechner: $\pi\approx 3,141\,592\,654\ldots$\\
	    
	          $\D\frac{3,162\,227\,766-3,141\,592\,654}{3,141\,592\,654}\approx 0,0066 =0,66\%$
      \end{itemize}
\item
      \begin{itemize}
	    \item $\Delta\,BAC:\quad\overline{AC}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$\\
	          $\Delta\,ADC:\quad\overline{DE}=\overline{AD}=\sqrt{\sqrt{2\,}\,^2+1^2}=\sqrt{3}$\\
		  Also $\pi\approx \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3,146\,264\,37\ldots$.
	    \item Beim N"aherungswert f"ur $\pi$ in der Figur 1 stimmt die erste Kommastelle und in der
	          Figur 2 stimmen die erste und die zweite Kommastelle.
	    \item ARCHIMEDES: $\D\frac{22}{7}=3,142\,857\,143\ldots$\\
	          Taschenrechner: $\pi =3,141\,592\,654\ldots$\\
		  Figur 2: $\sqrt{2}+\sqrt{3}= 3,146\,264\,37\ldots$.
      \end{itemize}
\item 
      \begin{itemize}
	    \item $l_1=2\cdot 6378,388\,\mathrm{km}\cdot 3,146\approx 40\,132,871\,\mathrm{km}$
	    \item $l_2=2\cdot 6378,388\,\mathrm{km}\cdot 3,142\approx 40\,081,790\,\mathrm{km}$
	    \item $\Delta l\approx 51\,\mathrm{km}$.
	    \item Dieser Unterschied ist praktisch bedeutungslos, weil der Erd"aquator nur n"aherungsweise
	          eine Kreisline darstellt.\\
		  Au"serhalb der Meeresoberfl"ache f"uhrt die "Auatorline z.B. in
		  Ecuador in S"udamerika "uber die Andenkette hinweg oder in Kenia in Afrika dicht an dem
		  "uber $5000\,\mathrm{m}$ Mount Kenia vorbei.\\
		  Auch die Ozeane bilden keine einheitliche Oberfl"ache. Der Meeresspiegel variiert global
		  in seiner H"ohe bis zu $200\,\mathrm{m}$.
      \end{itemize}

\end{enumerate}

}
