%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09cm001.1}
      \end{center}
Im dargestellten gleichschenkligen Trapez $ABCD$ gilt:\\
\centerline{$\overline{AB}=10\,\mathrm{cm}$, $\overline{CD}=8\,\mathrm{cm}$ und $h=5\,\mathrm{cm}$.}\\
Man erh"alt neue Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ dadurch, dass man die Grundseite $[AB]$ "uber $A$ und "uber
$B$ hinaus um jeweils $x\,\mathrm{cm}$ verl"angert und gleichzeitig die Trapezh"ohe $h$ um
$0,5x\,\mathrm{cm}$ verk"urzt.
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Trapez $A_1B_1C_1D_1$ f"ur $x=2$.
\item Gib alle Belegungen f"ur $x$ an, f"ur die es neue Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ gibt.
\item Berechne den Fl"acheninhalt des urspr"unglichen Trapezes.
\item Berechne den Fl"acheninhalt $A$ der neuen Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ in Abh"angigkeit von $x$.\\
      \centerline{[ Ergebnis: $A(x)=(-0,5x^2+0,5x+45)\,\mathrm{cm^2}$ ]}
\item Unter allen neuen Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Trapez $A_2B_2C_2D$, dessen 
      Fl"acheninhalt maximal ist.
      Berechne dieses Maximum und die zugeh"orige Belegung von $x$.
\item Um wie viel Prozent ist dieser maximale Fl"acheninhalt gr"o"ser als der Fl"a\-cheninhalt des
      urspr"unglichen Trapezes?
\item Begr"unde ohne Rechnung, weshalb es unter allen Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck gibt.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09cm001_l.1}
      \end{center}
\item $x=0$ liefert keine neuen Trapeze.\\
      F"ur $x=10$ entartet das Trapez zur Strecke.\\
      Also muss gelten: $x\,\in\,]0;\,10[\,_{\RR}$
\item $A_{ABCD}=\D\frac{1}{2}(10+8)\cdot 5\,\mathrm{cm^2}=45\,\mathrm{cm^2}$
\item \begin{eqnarray*}
      A(x)& = & \D\frac{1}{2}(10+2x+8)\cdot (5-0,5x)\,\mathrm{cm^2}\\
          & = & \D\frac{1}{2}(18+2x)\cdot (5-0,5x)\,\mathrm{cm^2}\\
          & = & \D\frac{1}{2}(90-9x+10x-x^2)\,\mathrm{cm^2}\\
      A(x)& = & (-0,5x^2+0,5x+45)\,\mathrm{cm^2}
      \end{eqnarray*}
\item Wir rechnen nur mit Ma"szahlen:
      \begin{eqnarray*}
      A(x)& = & -0,5x^2+0,5x+45\\
          & = & -0,5(x^2-x-90)\\
          & = & -0,5(x^2-x+0,5^2-0,25-90)\\
      A(x)& = & -0,5(x-0,5)^2+45,125
      \end{eqnarray*}
      $A_{max}=45,125\,\mathrm{cm^2}$ f"ur $x=0,5$.\\
\item $\D\frac{A_{max}-A_{ABCD}}{A_{ABCD}}=\D\frac{45,125\,\mathrm{cm^2}-45\,\mathrm{cm^2}}
      {45\,\mathrm{cm^2}}\approx 0,0028=0,28\%$\\
\item Die Seiten $[DC]$ und $[AB]$ m"ussten gleich lang werden. Da jedoch sowieso schon
      $\overline{AB}>\overline{CD}$ gilt und die Seite $[AB]$ noch weiter verl"angert wird, die L"ange
      der Seite $[CD]$ dagegen unver"andert bleibt, kann unter den neuen Trapezen kein Rechteck
      vorkommen.

\end{enumerate}

}
