%
\ANG
{
In ein Rechteck $PQRS$ mit den Seitenl"angen $\overline{PQ}=8\,\mathrm{cm}$ und
$\overline{QR}=6\,\mathrm{cm}$ werden Dreiecke $PA_nB_n$ einbeschrieben. Dabei gilt:
\begin{itemize}
\item $A_n\in[QR]$ und $B_n\in[RS]$
\item $\overline{Q_nA}=\overline{SB_n}=x\,\mathrm{cm}$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Rechteck $PQRS$ und f"ur $x=2$ das Dreieck $PA_1B_1$.
\item F"ur welche Belegungen von $x$ gibt es solche Dreiecke $PA_nB_n$?
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Dreiecke $PA_nB_n$ gilt in Abh"angigkeit von
      $x$:\\
      \centerline{$A(x)=(24-0,5x^2)\,\mathrm{cm^2}$}
\item Unter allen Dreiecken $PA_nB_n$ gibt es das Dreieck $PA_2B_2$, dessen Fl"ache $34,64\%$ des
      Rechtecks $PQRS$ bedeckt.
      Berechne $x$.
\item Unter allen Dreiecken $PA_nB_n$ gibt es das rechtwinklige Dreieck $PA_3B_3$ mit der Hypotenuse
      $[PA_3]$.
      Berechne $x$.
\item Unter allen Dreiecken $PA_nB_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $PA_4B_4$ mit der Basis
      $[PB_4]$.
      Berechne $x$.
\end{enumerate} 
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh095_l.1}
      \end{center}
\item $x\in\,[\,0;\,6\,]\,_{\RR}$
\item Wir rechnen nur mit Ma"szahlen:
      \begin{eqnarray*}
      A_{\Delta\,PA_nB_n} & = & A_{PQRS}- A_{\Delta\,PQA_n}-A_{\Delta\,A_nRB_n}-A_{\Delta\,PB_nS}\\
                          & = & 48-0,5\cdot8\cdot x-0,5\cdot(8-x)\cdot (6-x)-0,5\cdot6\cdot x\\
		          & = & 48-4x-24+4x+3x-0.5x^2-3x\\
	          A(x)    & = & (24-0,5x^2)\,\mathrm{cm^2}      
      \end{eqnarray*}
\item $24-0,5x^2=0,3464\cdot 48\quad\Rightarrow\quad x = 3,84$
\item Wir rechnen nur mit Ma"szahlen:
      \begin{eqnarray*}
      \overline{PA_n}\,^2 & = & \overline{AB_n}^2+\overline{PB_n}^2\\
                8^2+x^2 & = & (6-x)^2+(8-x)^2+6^2+x^2\\
                 64+x^2 & = & 36-12x+x^2+64-16x+x^2+36+x^2
      \end{eqnarray*}
      $\quad\Rightarrow\quad x^2-14x+36=0\quad D=52\quad\sqrt D=2\sqrt{13}$. Es scheint sogar zwei Dreiecke
      zu geben. Aber:\\
      $x_1=7+\sqrt{13}\approx 10,61\notin\,[\,0;\,6\,]\quad x_2=7-\sqrt{13}\approx 3,39\,\in[\,0;\,6\,]$\\
      $\Rightarrow\quad\LL=\{7-\sqrt{13}\}$, siehe \GF{rotes} Dreieck.
\item Wir rechnen nur mit Ma"szahlen:
      \begin{eqnarray*}
      \overline{PA_n} & = & \overline{A_nB_n}\\
              8^2+x^2 & = & (6-x)^2+(8-x)^2\\
               64+x^2 & = & 36-12x+x^2+64-16x+x^2
      \end{eqnarray*}
      $\quad\Rightarrow\quad x^2-28x+36=0\quad D=640\quad\sqrt D=8\sqrt{10}$. Wieder scheint es zwei
      Dreiecke zu geben.\\
      $x_1=14+4\sqrt{10}\approx 26,65\notin\,[\,0;\,6\,]\quad x_2=14-\sqrt{10}\approx 1,35
      \,\in[\,0;\,6\,]$\\
      $\Rightarrow\quad\LL=\{14-\sqrt{10}\}$, siehe \GF{blaues} Dreieck.
\end{enumerate} 
}
