%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh106.1}
      \end{center}
In das Quadrat $ABCD$ werden Trapeze $P_nQ_nR_nS_n$ auf die oben dargestellte Weise
einbeschrieben.\\
Es gilt: $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und $\overline{CR_n}=\overline{CS_n}=x\,\mathrm{cm}$
und $\overline{AP_n}=\overline{AQ_n}=2x\,\mathrm{cm}$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Quadrat $ABCD$ und f"ur $x=2,5$ das Trapez $P_1Q_1R_1S_1$.
\item F"ur welche Belegungen von $x$ existieren solche Trapeze $P_nQ_nR_nS_n$? 
\item \begin{itemize}
      \item Zeige durch Rechnung: F"ur $x=2,\overline{6}$ liegt die Diagonale $[S_2Q_2]$ im Trapez
            $P_2Q_2R_2S_2$ parallel zur Quadratseite $[BC]$ bzw. $[AD]$.
      \item Begr"unde: Die Diagonalen des Trapezes $P_2Q_2R_2S_2$ stehen senkrecht aufeinander.
      \end{itemize}
\item Berechne den Fl"acheninhalt $A$ der Trapeze $P_nQ_nR_nS_n$ in Abh"angigkeit von $x$, indem du
      von der Quadratfl"ache bestimmte Teilfl"achen subtrahierst.\\
      \centerline{\,[Ergebnis:$\,A(x)=(-4,5x^2+24x)\,\mathrm{cm^2}\,]\,$}
\item \begin{itemize}
      \item Begr"unde durch Rechnung: Unter allen Trapezen $P_nQ_nR_nS_n$ ist das Trapez
            $P_2Q_2R_2S_2$, das fl"achengr"o"ste.
      \item Begr"unde: Das fl"acheng"o"ste Trapez $P_2Q_2R_2S_2$ nimmt
            $50\%$ der Quadratfl"ache ein.
      \end{itemize}
\item Untersuche auf verschiedene Weise, ob es unter allen Trapezen $P_nQ_nR_nS_n$ eines gibt, dessen
      Fl"acheninhalt $41,07\,\mathrm{cm^2}$ betr"agt.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh106_l1.1}
      \end{center}
\item Es muss gelten: $2x\LQ8\quad\Leftrightarrow\quad x\LQ4$. 
\item \begin{itemize}
      \item Es muss gelten: $\overline{Q_2B}=\overline{CS_2}\quad\Rightarrow\quad
            8-2x=x\quad\Leftrightarrow\quad x=2,\overline6$.
      \item Alle Trapeze $P_nQ_nR_nS_n$ besitzen die Gerade $AC$ als Symmetrieachse. Sie schlie"st mit
            den Quadratseiten jeweils einen $45^\circ$-Winkel ein.\\
            Wenn $[S_2Q_2]$ an $AC$ gespiegelt wird, dann erh"altst du die Diagonale $[P_2R_2]$, die
	    dann parallel zu $[AB]$ bzw. $[CD]$ liegt.\\
	    Also gilt: $[P_2R_2]\,\perp\,[S_2Q_2]$.
      \end{itemize}
\item \begin{eqnarray*}
      A_{P_nQ_nR_nS_n} & = & A_{ABCD}-2\cdot
      A_{\Delta\,P_nS_nD}-A_{\Delta\,AQ_nP_n}-A_{\Delta\,CS_nR_n}\\
                  A(x) & = &\left[8\cdot8-2\cdot0,5\cdot(8-2x)(8-x)-0,5\cdot(2x)^2-0,5\cdot x^2\right]
		             \,\mathrm{cm^2}\\
                       & = &\left[64-64+8x+16x-2x^2-0,5x^2-2x^2 \right]\,\mathrm{cm^2}\\
		  A(x) & = &\left(-4,5x^2+24x\right)\,\mathrm{cm^2}		     
      \end{eqnarray*}
\item \begin{itemize}
      \item $a=-4,5\quad b=24\quad c=0$:\\
      
            $x_S=-\D\frac{24}{2\cdot(-4,5)}=\D\frac{8}{3}=2,\overline{6}$. Siehe L"osung (c).
      \item $y_S=0-\D\frac{24^2}{4\cdot(-4,5)}=32$; das ist aber die H"alfte ($=50\%$) der
            Quadratfl"ache.
      \end{itemize}
\item {\bf 1. M"oglichkeit:}\\
       Die maximale Trapezfl"ache betr"agt $32\,\mathrm{cm^2}$. Dann gibt es kein Trapez, das noch
       gr"o"ser, n"amlich $41,07\,\mathrm{cm^2}$ ist.\\
      {\bf 2. M"oglichkeit:}\\
      $-4,5x^2+24x=41,07\quad\Leftrightarrow\quad-4,5x^2+24x-41,07=0$\\
      Diskriminante $D=24^2-4\cdot(-4,5)\cdot(-41,07)=-163,26\,<0\,(\dag)$\\
      Also gibt es keine reelle L"osung und damit kein Trapez mit einem solchen Fl"acheninhalt.
\end{enumerate}

}
