%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh121_a1.1}
      \end{center}
Aus dem Rechteck $ABCD$ mit den Seitenl"angen $\overline{AB}=\overline{CD}=a$ und $\overline{BC}=\overline{AD}=b$ werden Quadrate mit der Seitenl"ange $x$ herausgeschnitten. Dadurch entstehen Vierecke $AP_nQ_nS_n$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Rechteck $ABCD$ f"ur $a=8\,\mathrm{cm}$, $b=5\,\mathrm{cm}$ und das Viereck $AP_1Q_1S_1$ f"ur $x=2\,             \mathrm{cm}$\,.
\item Gib alle Belegungen von $x$ an, f"ur die es solche Vierecke $AP_nQ_nS_n$ gibt.
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Vierecke $AP_nQ_nS_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:
      \begin{center}
            $A(x) = -x^2+\D\frac{1}{2}(a+b)\cdot x$
      \end{center}
      {\bf Tipp:} Deute die Strecken $[P_nQ_n]$ und $[Q_nS_n]$ jeweils als Grundlinien der Teildreiecke $AP_nQ_n$ bzw. $AQ_nS_n$.
\item Unter allen Vierecken $AP_nQ_nS_n$ gibt es das Viereck $AP_0Q_0S_0$, dessen Fl"acheninhalt maximal ist.\\

      Zeige, dass $x=\D\frac{1}{4}(a+b)$ das Viereck $AP_0Q_0S_0$ liefert.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh121_a2.1}
      \end{center}
      In der obigen Figur gilt:
      \begin{itemize}
      \item Der Punkt $D$ ist der Mittelpunkt des Kreisbogens von Punkt $A$ zum Punkt $A_0$.
      \item Der Punkt $C$ ist der Mittelpunkt des Kreisbogens von Punkt $P_0$ zum Punkt $S_0$.
      \item Der Punkt $T_0$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A_0C]$.
      \item Der Punkt $S_0$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[T_0C]$.
      \end{itemize}
      Begr"unde anhand dieser Konstruktion, dass das Viereck $AP_0Q_0S_0$ dasjenige mit dem maximalen Fl"acheninhalt ist.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Klar.
\item $x\in\,]0,5[_{\RR}$\,.
\item Wir rechnen mit der Formel: $A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot$ Grundlinie $\cdot$ H"ohe:
      In den Dreiecken $AP_nQ_n$ bzw $AQ_nS_n$ gilt:
      \begin{alignat}{2}
            A_{AP_nQ_n} & =  \D\frac{1}{2}\cdot x\cdot(b-x) & = \D\frac{1}{2}bx-\D\frac{1}{2}x^2 \\
            A_{AQ_nS_n} & =  \D\frac{1}{2}\cdot x\cdot(a-x) & = \D\frac{1}{2}ax-\D\frac{1}{2}x^2 \\
      (1) + (2):\quad A_{AP_nQ_nS_n} & =  \D\frac{1}{2}(a+b)\cdot x-x^2 &
      \end{alignat}
      Die Gleichung (3) ist die geforderte.
\item \begin{eqnarray*}
      A(x) & = & -x^2+\D\frac{1}{2}(a+b)\cdot x\\
           & = & -\left[x^2-\D\frac{1}{2}(a+b)\cdot x+\D\frac{1}{4}(a+b)^2-\D\frac{1}{4}(a+b)^2\right]\\
           & = & -\left[\left(x-\D\frac{1}{4}(a+b)\right)^2-\D\frac{1}{4}(a+b)^2\right]\\
      A(x) & = & -\left(x-\D\frac{1}{4}(a+b)\right)^2+\D\frac{1}{4}(a+b)^2\\
      \end{eqnarray*}     
      $x=\D\frac{1}{4}(a+b)$ liefert $A_{max}=\D\frac{(a+b)^2}{16}$.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh121_a2.1}
      \end{center}
      Hier gilt $\overline{A_0C}=a+b$.\\
      Der Punkt $T_0$ halbiert die Strecke $[A_0C]$\,:\, $\overline{T_0C}=\D\frac{a+b}{2}$.\\
      Der Punkt $S_0$ halbiert die Strecke $[T_0C]$\,:\, $\overline{S_0C}=\D\frac{a+b}{4}=x$.\\
\end{enumerate}

}
