%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh122_a1.1}
      \end{center}
Das gleichschenklige Trapez $ABCD$ ist aus drei kongruenten gleichseitigen Dreiecken mit der jeweiligen Seitenl"ange von $a\,\mathrm{cm}$ zusammengef"ugt worden. Dieses Trapez und das gleichseitige Dreieck $PQR$ mit der Seitenl"ange
$x\,\mathrm{cm}$ sollen den gleichen Umfang besitzen.
\begin{enumerate}
\item Zeige, dass dann $x=\D\frac{5}{3}a$ gilt.
\item Berechne das Verh"altnis der Fl"achen der beiden Figuren.
\item Um wie viel Prozent ist der Fl"acheninhalt des Trapezes $ABCD$ gr"o"ser als der des Dreiecks $PQR$?
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Gleicher Umfang: $5a=3x\quad\Leftrightarrow\quad x=\D\frac{5}{3}a$\,.
\item $A_{\mathrm{Trapez}}=3\cdot\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3=\D\frac{3}{4}a^2\sqrt 3$\,.\\

      $A_{\Delta\,PQR}=\D\frac{x^2}{4}\sqrt 3=\D\frac{\left(\D\frac{5}{3}a\right)^2}{4}\sqrt 3=
      \D\frac{25}{36}a^2\sqrt 3$\,.\\

      $\D\frac{A_{\Delta\,PQR}}{A_{\mathrm{Trapez}}}=\D\frac{\D\frac{25}{36}a^2\sqrt 3}{\D\frac{3}{4}a^2\sqrt 3}=
      \D\frac{25}{36}\cdot\D\frac{4}{3}=\D\frac{100}{108}\left(=\D\frac{25}{27}\right)$\,.\\
     
\item $A_{\Delta\,PQR}\,\mathbin{\widehat{=}}\,100\%$\,.\\
      Nach L"osung (b) gilt $A_{\mathrm{Trapez}}\,\mathbin{\widehat{=}}\,108\%$\,.\\
      Dann ist also der Fl"acheninhalt des Trapezes $ABCD$ um $8\%$ gr"o"ser als der des Dreiecks $PQR$.
\end{enumerate}
}
