%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh123_a1.1}
      \end{center}
Die Figur $ABECD$ setzt sich aus dem Quadrat $ABCD$ mit der Seitenl"ange $a$ und dem gleichschenkligen Dreieck $BEC$ mit $\overline{BE}=\overline{CE}=s$ zusammen. Das Dreieck $BEC$ und das Quadrat $ABCD$ haben den gleichen Umfang.
\begin{enumerate}
\item Zeige: Es muss $s=1,5a$ gelten.
\item Zeichne die Fgur f"ur $a=3\,\mathrm{cm}$.
\item Berechne das Verh"altnis der Fl"acheninhalte des Dreiecks $BEC$ und des Quadrates $ABCD$ in Prozent.
\item Wie lang m"usste die Schenkell"ange $s$ sein, damit die Fl"acheninhalte des Quadrates $ABCD$ und des  Dreiecks $BEC$ gleich gro"s werden?
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $u_{BEC}=a+s+s=2s+a$ \qquad $u_{ABCD}=4a$\\
      $2s+a=4a\quad\Leftrightarrow\quad s=1,5a$\,.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh123_l1.1}
      \end{center}
      Die beiden Kreisb"ogen mit dem Radius $r=1,5\cdot3\,\mathrm{cm}=4,5\,\mathrm{cm}$ und den Mittelpunkten $B$ bzw. $C$ schneiden sich im Punkt $E$.
\item $\Delta BEM$:\quad $h^2=s^2-\left(\D\frac{a}{2}\right)^2=(1,5a)-(0.5a)^2=2.25a^2-0.25a^2=2a^2$\\
      $\Rightarrow\quad h=a\sqrt 2$\\

      $A_{\Delta BEC}=\D\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt 2=\D\frac{a^2}{2}\sqrt 2\quad$ und $\quad A_{ABCD}=a^2$\,.\\

      $\D\frac{A_{\Delta BEC}}{A_{ABCD}}=\D\frac{\D\frac{a^2}{2}\sqrt 2}{a^2}=\D\frac{\sqrt 2}{2}
      \approx0,7071=70,71\%$
\item $h^2=s^2-\D\frac{a^2}{4}\quad\Rightarrow\quad h=\sqrt{s^2-\D\frac{a^2}{4}}$\,.\\

      $A_{\Delta BEC}=A_{ABCD}$\quad:\quad$\left.\D\frac{a}{2}\sqrt{s^2-\D\frac{a^2}{4}}=a^2\quad
      \Rightarrow\quad\D\frac{1}{2}\sqrt{s^2-\D\frac{a^2}{4}}=a\quad\right|\,^{^2}$\\

      $\Rightarrow\quad s^2-\D\frac{a^2}{4}=4a^2\quad\Leftrightarrow\quad s^2=\D\frac{16a^2}{4}+\D\frac{a^2}{4}$\\

      $\Rightarrow\quad s=\D\frac{a}{2}\sqrt{17}\approx 2,06\cdot a$\,\,.
\end{enumerate}
}
