%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh124_a1.1}
      \end{center}
Schneidet man aus dem Quadrat $ABCD$ mit der Seitenl"ange $a\,\mathrm{cm}$ die vier get"onten kongruenten Vierecke weg, so bleibt der wei"se Stern im Zentrum "ubrig.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die obige Figur f"ur $a=6$ und $x=2,5$.
\item Begr"unde: Jedes dieser vier get"onten kongruenten Vierecke ist ein Drachenviereck.
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ des wei"sen Sterns gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      \centerline{$A(x)=(36-12x)\,\mathrm{cm^2}$}\,.
\item \begin{itemize}
      \item Berechne $A(3)$ und deute dein Ergebnis mit Hilfe der Zeichnung.
      \item Berechne $A(1,5)$ und deute dein Ergebnis mit Hilfe der Zeichnung.
      \end{itemize}
\item Berechne $x$ so, dass der Fl"acheninhalt des Sterns $3,6\,\mathrm{cm^2}$ betr"agt.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh124_l1.1}
      \end{center}
\item Das Viereck $SMRD$ ist ein Quadrat, dessen Diagonalen $[DM]$ und $[SR]$ folgende Eigenschaften besitzen:
      \begin{itemize}
      \item $[SR]\perp[DM]$\,. Wegen $E\in[DM]$ folgt $[SR]\perp[DE]$\,.
      \item $DM$ ist sowohl die Symmetrieachse des Quadrates $SMRD$ als auch die des Vierecks $SERD$.    
      \end{itemize}
      Also ist das Viereck $SERD$ ein achsensymmetrischer Drachen.\\
\item $A_{SERD}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{SR}\cdot{\overline{DE}}$\,.\qquad(*)\\

      $[SR]$ ist eine Diagonale des Quadrates $SMRD$  mit der Seitenl"ange $3\,\mathrm{cm}$:\quad$\Rightarrow\quad\overline{SR}=3\sqrt 2\,\mathrm{cm}$\,.\\
      $[DE]$ ist eine Diagonale des Quadrates mit der Seitenl"ange $\overline{KD}=x\,\mathrm{cm}$ und der Diagonale $[DE]$ :\quad$\Rightarrow\quad\overline{DE}=x\sqrt 2\,\mathrm{cm}$\,.\\
      Mit (*) folgt dann:\\

      $A_{SERD}=\D\frac{1}{2}\cdot3\sqrt 2\cdot x\sqrt 2\,\mathrm{cm^2}=3x\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

      $A_{\mathrm{Stern}}= A_{ABCD}-4\cdot A_{SERD}=36\,\mathrm{cm^2}-
      4\cdot 3x\,\mathrm{cm^2}=(36-12x)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
\item \begin{itemize}
      \item $A(3)=(36-12\cdot3)\,\mathrm{cm^2}=0\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
            F"ur $x=3$ deckt sich das Drachenviereck $SERD$ mit dem Quadrat $SMRD$. Das geschieht auf die gleiche Weise mit den drei restlichen Drachenvierecken. Dann sieht die Figur so aus:
            \mbox{}
            \begin{center}
            \includegraphics{09eh124_l2.1}
            \end{center}
            D.h. der Stern entartet zu zwei gekreuzten Strecken $[PR]$ und $[SQ]$, deren Fl"acheninhalt 0 ist.
      \item $A(1,5)=(36-12\cdot1,5)\,\mathrm{cm^2}=18\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
            F"ur $x=1,5$ kommt der Punkt $E$ auf den Diagonalenschnittpunkt $Z$ des Drachenvierecks $SERD$ zu liegen; d.h. das Drachenviereck entartet zum gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck $SRD$. Damit wird der Stern zu einem einbeschriebenen Quadrat dessen Eckpunkte jeweils auf einem Mittelpunkt der Seiten des Quadrates $ABCD$ fallen. Dann sieht die Figur so aus:
            \mbox{}
            \begin{center}
            \includegraphics{09eh124_l3.1}
            \end{center}
            Anhand der gestrichelten Diagonalen des zum Quadrat $PQRS$ entarteten Sterns erkennst du, dass dieses Quadrat halb so gro"s wie das "au"sere Quadrat $ABCD$ ausf"allt, was auch die obige Rechnung best"atigt.
      \end{itemize}
\item $36-12x=3,6\quad\Leftrightarrow\quad 32,4=12x\quad\Leftrightarrow\quad x=2,7$.
\end{enumerate}
}
