%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh125_a1.1}
      \end{center}
Das Quadrat $A'B'C'D'$ ist dadurch entstanden, dass das Quadrat $ABCD$ um seinen Mittelpunkt $M$ um einen Winkel mit dem Ma"s $\alpha$ so gedreht worden ist, dass bestimmte Symmetrieachsen vom Ur- und vom Bildquadrat zur Deckung kommen.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AC}=8\,\mathrm{cm}$\,.
\item Wie gro"s ist $\alpha$? Begr"unde deine Antwort.
\item \begin{itemize}
      \item Ist das Achteck $PQRSTUVW$ regelm"a"sig? 
      \item Berechne den Fl"acheninhalt des Achtecks $PQRSTUVW$.
      \end{itemize}

\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh125_l1.1}
      \end{center}
\item $\alpha=45^\circ$\,.\\
      Es gilt z.B.: $MD'\perp MA'$. Die Diagonale $[AC]$ halbiert diesen rechten Winkel.
\item \begin{itemize}
      \item Aus Symmetriegr"unden sind die vier Dreiecke, die "uber das Quadrat $ABCD$ hinausragen und die vier Dreiecke, die "uber das  gedrehte Quadrat $A'B'C'D'$ hinausragen, alle kongruent. Also sind alle Seiten des fraglichen Achtecks geich lang.\\
      Die Diagonalen der Quadrate $ABCD$ und $A'B'C'D'$ schlie"sen paarweise einen $45^\circ$-Winkel ein. Also haben alle Innenwinkel des Achtecks das Ma"s $180^\circ-45^\circ=135^\circ$\,. Also ist das Achteck  $PQRSTUVW$ regelm"a"sig.
      \item Subtrahierst du vom gedrehten Quadrat $A'B'C'D'$ die Fl"achen der vier Dreiecke, die "uber das Quadrat $ABCD$ hinausragen, dann erh"altst du den Fl"acheninhalt des Achtecks $PQRSTUVW$\,.\\
            Betrachte z.B. das Dreieck $UTC'$. Aus Symmetriegr"unden muss es gleich\-schenklig-rechtwinklig sein. Also gilt: $\overline{XT}=\overline{XC'}=x\,\mathrm{cm}$.\,.\\
            Das Dreieck $MCXC'$ ist gleichschenklig: $\overline{MC}=\overline{MC'}=4\,\mathrm{cm}$\.\\
            Damit gilt einerseits: $\overline{MX}=(4-x)\,\mathrm{cm}$\,.\qquad(*)\\
            Das Viereck $MYCX$ ist ein Quadrat, dessen Diagonale $4\,\mathrm{cm}$ lang ist. Damit gilt andererseits: $\overline{MX}=\D\frac{4}{\sqrt2}\,\mathrm{cm}$\,.\\

            Mit (*) ergibt sich:\\
           
            $4-x=\D\frac{4}{\sqrt2}\quad\Rightarrow\quad x=4-\D\frac{4}{\sqrt2}=
            4\cdot\left(1-\D\frac{1}{\sqrt2}\right)=4\cdot\D\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}$\,.\\
            
            Das Dreieck $UTC'$ ist genauso gro"s wie ein Quadrat mit der Seitenl"ange $x\,\mathrm{cm}$\,.\\

            $A_{UTC'}=x^2\,\mathrm{cm^2}=\left(4\cdot\D\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}\right)^2\,\mathrm{cm^2}=16\,\cdot\,\D\frac{2-2\sqrt2+1}{2}\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

            $A_{UTC'}=8\cdot(3-2\sqrt2)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
         
            Wegen $A_{PQRSTUVW}=A_{A'B'C'D'}-4\cdot A_{UTC'}$ folgt:\\

            $A_{PQRSTUVW}=\D\frac{1}{2}\cdot8^2\,\mathrm{cm^2}-4\cdot8\cdot(3-2\sqrt2)\,\mathrm{cm^2}$\\

            $A_{PQRSTUVW}=32\cdot[1-(3-2\sqrt2)]\,\mathrm{cm^2}=32\cdot[2\sqrt2-2]\,\mathrm{cm^2}$\\
            $A_{PQRSTUVW}=64\cdot(\sqrt2-1)\,\mathrm{cm^2}\approx26,51\,\mathrm{cm^2}$\,.
            
      \end{itemize}
\end{enumerate}
 
}
