%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh202_a.1}
      \end{center}
      Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat. In dieses Quadrat ist das Achteck $PQRSTUV$ einbeschrieben worden.\\
      Die Punktepaare $(P,Q)$, $(R,S)$, $(T,U)$ und $(V,W)$ teilen jeweils die L"ange der Seite, auf der sie liegen, in
drei gleiche Teile.
\begin{enumerate}
 \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AC}=6\,\mathrm{cm}$\,.
 \item Untersuche rechnerisch, ob das einbeschriebene Achteck $PQRSTUVW$ regelm"a"sig ist.
 \item Berechne den Anteil der Fl"ache, den das Achteck am der Fl"ache des Quadrates $ABCD$ einnimmt, in Prozent. Runde
dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\end{enumerate}    
}

\LSG{
\begin{enumerate}
 \item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh202_l1.1}
      \end{center}
 \item Es gilt: $\Delta\,TSC\sim\Delta\,DBC$\,.\\
 Weil z.B. $\overline{TC}=\frac{1}{3}\cdot\overline{DC}$ gilt, folgt dann $\overline{TS}=\frac{1}{3}
 \cdot\overline{DB} =\frac{1}{3}\cdot6\,\mathrm{cm}=2\,\mathrm{cm}$\,.\\
 Andererseits gilt z.B.:\\
 $\overline{BC}=3\cdot\sqrt2\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad\overline{SR}=\frac{1}{3}\cdot
 \overline{BC}=\sqrt2\,\mathrm{cm}<2\,\mathrm{cm}$\,.\\
 Also ist das Achteck nicht regelm"a"sig.
 \item Den Fl"acheninhalt des Achtecks $PQRSTUVW$ kannst du am einfachsten dadurch berechnen, dass du vom
Fl"acheninhalt des Quadrates $ABCD$ die Fl"acheninhalte der vier kongruenten wei"sen Dreiecke an seinen Eckpunkten
subtrahierst. Den Fl"acheninhalt $A$ jedes dieser Dreiecke berechnest du am besten mit der Formel
$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$\,.\\
$A_{PQRSTUVW}=\frac{1}{2}\cdot\left(6\,\mathrm{cm}\right)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}
=18\,\mathrm{cm^2}-4\,\mathrm{cm^2}=14\,\mathrm{cm^2}$\\

$\D\frac{A_{PQRSTUVW}}{A_{\Delta\,ABC}}=\D\frac{14\,\mathrm{cm^2}}{18\,\mathrm{cm^2}}=0,\overline{7}\approx77,78\%$\,.
\end{enumerate}
}
