%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh204_a1.1}
      \end{center}
      Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig-rechtwinklig. Der Punkt $M$ halbiert die Kathete $[AB]$\,.
 \begin{enumerate}
 \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$\,.
 \item Berechne den Fl"achenanteil des get"onten Dreiecks $MFC$ am Dreieck $ABC$ in Prozent.\\
 {\bf Tipp:} Zeichne geeignete Hilfslinien ein, die parallel zu den Katheten $[AB]$ bzw. $[AC]$ verlaufen.
 \item Untersuche, ob der Winkel $ACB$ von $CM$ halbiert wird.
\end{enumerate}    
}

\LSG{
\begin{enumerate}
 \item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh204_l1.1}
      \end{center}
\item Die beiden Dreiecke $MBH$ und $KHC$ sind kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Zusammen sind sie so
gro"s wie das Quadrat $AMHK$\,.\\
Das bedeutet, dass das der Fl"acheninhalt des Dreiecks $MBH$ ein Viertel des Fl"acheninhalts des Dreeicks $ABC$
betr"agt. Das Dreieck $MBF$ ist halb so gro"s wie das Dreieck $MBH$\,.\\

Also gilt: $A_{\Delta\,MBF}=\D\frac{1}{8}\cdot A_{\Delta\,ABC}$\,.\\

Die Dreiecke $AMC$ und $MBC$ haben den gleichen Fl"acheninhalt, weil ihre Grundlinien und H"ohen jeweils gleich lang
sind. Damit sind sie jeweils halb so gro"s wie das Dreieck $ABC$\,.\\

$\Rightarrow\quad A_{\Delta\,MFC}=\D\frac{1}{2}\cdot A_{\Delta\,ABC}-\D\frac{1}{8}\cdot A_{\Delta\,ABC}=
\D\frac{3}{8}\cdot A_{\Delta\,ABC}=0,375\cdot A_{\Delta\,ABC}$\,.\\

Der Fl"achenanteil betr"agt somit $37,5\%$\,.
\item Nimm an, dass die Halbgerade $[CM$ den Winkel $ACB$ halbiert.\\
Der Punkt $M$ w"urde dann ebenfalls auf der Winkelhalbierenden liegen. Dann m"usste sein Abstand zum Schenkel $[CA$ der
gleiche sein wie zum Schenkel $[CB$\,. Es m"usste also gelten $\overline{AF}=\overline{AM}$\,.\\
Im rechtwinkligen Dreieck $MBF$ ist $[MB]$ die Hypotenuse; d.h.\\ $\overline{MF}<\overline{MB}=\overline{AM}$\,.\\
Also wird wird der Winkel $ACB$ nicht von der Halbgeraden $[CM$ halbiert.
\end{enumerate} 
}
