%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh131_a1.1}
      \end{center}
F"ur das Rechteck $ABCD$ gilt: $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ und $\overline{BC}=4\,\mathrm{cm}$.\\
Die Punkte $E$ und $F$ sind die Mittelpunkte der Seite $[AB]$ bzw. $[CD]$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur.
\item Welchen Bruchteil der Rechtecksfl"ache nimmt das Dreieck $AEC$ ein? L"ose die Aufgabe auf zwei verschiedene Arten.
\item Berechne den Abstand des Punktes $E$ von der Strecke $[AC]$\,. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh131_l1.1}
      \end{center}
\item {\bf 1. M"oglichkeit:}\\
Die Dreiecke $AEC$ und $AEF$ haben die gleiche Grundlinie $[AE]$ und gleichlange H"ohen $[BC]$ bzw. $[EF]$\,. Also besitzen sie den gleichen Fl"acheninhalt.\\
Das Dreick $AEF$ nimmt ein Viertel der Fl"ache des Rechtecks $ABCD$ ein, also trifft dies auch f"ur das Dreieck $AEC$ zu.\\
{\bf 2. M"oglichkeit:}\\
$A_{AEC}=A_{ABCD}-A_{EBC}-A_{ACD}$\,.\\

$A_{\Delta\,EBC}=\D\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\,\mathrm{cm^2}=
6\,\mathrm{cm^2}$ und $A_{\Delta\,ACD}=6\cdot4\,\mathrm{cm^2}:2=
12\,\mathrm{cm^2}$\\

$\Rightarrow\quad A_{AEC}=24\,\mathrm{cm^2}-6\,\mathrm{cm^2}-12\,\mathrm{cm^2}=6\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
Das ist aber ein Viertel der Fl"ache des Rechtecks $ABCD$\,.
\item Der Abstand eine Punktes zu einer Strecke (oder Geraden) ist immer die k"urzeste Entfernung dieses Punktes zur Strecke. Sie wird durch das {\bf Lot} vom Punkt $E$ auf die Strecke $[AC]$ dargestellt.\\
Wir wissen schon, dass $A_{\Delta\,AEC}=6\,\mathrm{cm^2}$ gilt.\\
Der gesuchte Abstand $h$ ist die H"ohe im Dreieck $AEC$ mit der Grundlinie $[AC]$:\quad 
$A_{AEC}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{AC}\cdot h$\,.\\

$\overline{AC}=\sqrt{6^2+4^2}\,\mathrm{cm}=\sqrt{52}\,\mathrm{cm}$\,.\\

$6\,\mathrm{cm^2}=\D\frac{1}{2}\cdot\sqrt{52}\,\mathrm{cm}\cdot h
\quad\Rightarrow\quad h=\D\frac{12\,\mathrm{cm^2}}{\sqrt{52}\,\mathrm{cm}}\approx1,66\,\mathrm{cm}$\,.

\end{enumerate}
}
