%
\ANG
{
	Karin hat im Taschenrechner~~$\sqrt{2}$~~eingeben. Er zeigt~~$1{,}414213562$~~an.\\
	Sie meint dazu:~~\GF{{\sl Das muss ein gerundeter Wert sein.}}\\
	Begr"unde, dass sie Recht hat!
}

\LSG
{
	Wenn~~$\sqrt{2}=1{,}414213562$~~w"are, dann m"usste umgekehrt\\
	$1{,}414213562^{\,2}=1{,}414213562\cdot1{,}414213562=2$~~gelten.\\
	Wenn man aber eine Zahl mit einer anderen Zahl multipliziert, dann ist die End\-ziffer des
	Produkt\-wertes die letzte Ziffer des Produktwertes der beiden Endziffern der beiden Faktoren.
	Z.\,B. liefert der Produktwert von~~$109457\cdot5620003$~~die Endziffern $7\cdot3=21$.\\
	Also endet der Produktwert aus $109457\cdot5620003$ mit der Ziffer~$1$.
	Bei Dezimalzahlen gilt diese Regel nat"urlich auch.\\
	Der Produktwert~~$1{,}414213562\cdot1{,}414213562$~~besitzt~~$9\,+9=18$~Stellen nach dem Komma, wobei
	die letzte Ziffer nicht~$0$ sein kann, denn dann w"are ja schon nach $17$~Ziffern Schluss.
	Die letzte Ziffer ist~$2\cdot2=4$. Der Taschenrechner rundet also auf 9 Stellen nach dem Komma.

	{\bf Anmerkung:}\\
	Es ist~~$1{,}414213562\cdot1{,}414213562=1,999999998944727844$,~~also treten die vorhergesagten
	$18$~Stellen nach dem Komma auf. Der ETR zeigt aber nur $9$~Stellen nach dem Komma an.
	Also muss er runden: Die $10$.\,Ziffer im Ergebnis ist eine~$9$. Also wird die $9$.\,Ziffer nach dem Komma,
	n"amlich die~$8$, zur~$9$. Dann m"usste der ETR eigentlich f"ur $\sqrt{2}^{\,2}$ das Ergebnis $1{,}999999999$ anzeigen.
	Das macht er aber nur, wenn du $1{,}414213562\cdot1{,}414213562$ oder $1,414213562^{\,2}$ per Hand eingibst.
	Wenn du dagegen \GF{$\sqrt{2}$} eingibst, und das Ergebnis mit der \GF{$x^2$}-Taste quadrierst, dann
	erscheint \GF{glatt}~$2$ im Fenster. Daraus kannst du schlie"sen, dass der ETR bei $\sqrt{2}$ anders rundet als bei der \GF{Handeingabe}.
}
